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AMC 8 · 2001 · #21

학년 6 arithmeticnumber-theory
유형 Arithmetic Expression Decomposition
mean-median-mode-rangesystematic-enumerationmulti-digit-arithmetic bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The mean of a set of five different positive integers is 15. The median is 18. The maximum possible value of the largest of these five integers is

답을 골라 클릭하세요.

(A)
19
(B)
24
(C)
32
(D)
35
(E)
40
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 서로 다른 양의 정수 다섯 개로 이루어진 집합이 있습니다. 다섯 수의 평균은 $15$, 중앙값은 $18$ 입니다. 이 다섯 수 중 가장 큰 수는 최대 얼마까지 될 수 있을까요?

주어진 것: 서로 다른 양의 정수 다섯 개; 다섯 수의 평균이 $15$; 다섯 수의 중앙값이 $18$; 선택지: (A) $19$, (B) $24$, (C) $32$, (D) $35$, (E) $40$

구하는 것: 가장 큰 수의 최댓값

이해

문제 재정리: 서로 다른 양의 정수 다섯 개로 이루어진 집합이 있습니다. 다섯 수의 평균은 $15$, 중앙값은 $18$ 입니다. 이 다섯 수 중 가장 큰 수는 최대 얼마까지 될 수 있을까요?

주어진 것: 서로 다른 양의 정수 다섯 개; 다섯 수의 평균이 $15$; 다섯 수의 중앙값이 $18$; 선택지: (A) $19$, (B) $24$, (C) $32$, (D) $35$, (E) $40$

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

다섯 수의 합은 $75$ 로 고정입니다. 그러니까 가장 큰 수를 최대로 만드는 것은 나머지 네 수를 최소로 만드는 것과 같은 말이에요 — 이것이 도구 #11 (거꾸로 풀기) 의 핵심입니다. 목표 ("가장 큰 수") 에서 출발해, 나머지 자리에 들어갈 수 있는 가장 작은 값들을 거꾸로 끼워 넣는 거죠. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 는 다섯 자리를 작은 것부터 큰 것까지 순서대로 늘어놓아, 중앙값 조건과 "서로 다른 양의 정수" 조건을 자리별로 하나씩 확인하기 쉽게 해 줍니다.

실행 — 정답: D

#11 거꾸로 풀기 6.SP.B.5 단계 1
  • 평균을 합으로 바꿉니다.
  • 다섯 수의 평균이 $15$ 이므로 합은 $5 \times 15 = 75$ 입니다.
  • 어떤 다섯 수를 고르든 이 총합은 변하지 않습니다.
$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 5 \times 15 = 75$$

💡 평균 $\times$ 개수 $=$ 총합. 총합이 고정되면 "한 자리를 키우기" 는 "다른 자리를 줄이기" 와 같은 뜻이 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.A.3 단계 2
  • 다섯 자리를 작은 것부터 큰 것까지 줄세웁니다: $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$.
  • 수가 다섯 개일 때 중앙값은 가운데 값이므로 $a_3 = 18$.
  • 중앙값보다 작은 두 자리는 $18$ 미만, 중앙값보다 큰 두 자리는 $18$ 초과이어야 합니다.
$$a_1 < a_2 < a_3 = 18 < a_4 < a_5$$

💡 먼저 정렬해 두면 중앙값 규칙이 한눈에 보입니다 — 세 번째 자리가 곧 가운데 값이에요.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.8 단계 3
  • $a_1$ 과 $a_2$ 를 최소로 만듭니다.
  • 둘은 서로 다른 양의 정수이고 모두 $18$ 보다 작아야 합니다.
  • 가장 작은 두 양의 정수는 $1$ 과 $2$ 이고, 둘 다 $18$ 미만이므로 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ 는 조건을 만족하는 최소값입니다.
$$a_1 = 1,\quad a_2 = 2$$

💡 중앙값 아래 두 자리를 최대한 줄이려면, 서로 다른 가장 작은 두 양의 정수를 고르면 됩니다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.8 단계 4
  • $a_4$ 를 최소로 만듭니다.
  • $a_4$ 는 $18$ 보다 크고 $a_5$ 보다 작은 양의 정수여야 합니다.
  • $18$ 보다 큰 가장 작은 정수는 $19$ 이므로 $a_4 = 19$.
$$a_4 = 19$$

💡 중앙값 바로 위 자리는 $18$ 을 넘어야 하고, 그 조건을 만족하는 가장 작은 정수는 $19$ 입니다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 5
  • 총합에서 $a_5$ 를 구합니다.
  • 나머지 네 자리의 합은 $1 + 2 + 18 + 19 = 40$ 이므로 $a_5 = 75 - 40 = 35$.
  • 순서를 확인하면 $1 < 2 < 18 < 19 < 35$ 로 모두 서로 다른 양의 정수, 조건을 만족합니다.
$$a_5 = 75 - (1 + 2 + 18 + 19) = 75 - 40 = 35 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 나머지 네 자리를 최솟값으로 못 박으면, $75$ 에서 남는 값이 곧 가장 큰 수의 최댓값입니다.

[1] #11 6.SP.B.5 평균을 합으로 바꿉니다. 다섯 수의 평균이 $15$ 이므로 합은 $5 \times 15 = 75$ 입니다. 어떤 다섯 수를 고르든 이 총합은 변
[2] #2 6.SP.A.3 다섯 자리를 작은 것부터 큰 것까지 줄세웁니다: $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$. 수가 다섯 개일 때 중앙값은 가운데 값이
[3] #11 6.EE.B.8 $a_1$ 과 $a_2$ 를 최소로 만듭니다. 둘은 서로 다른 양의 정수이고 모두 $18$ 보다 작아야 합니다. 가장 작은 두 양의 정수는 $1
[4] #11 6.EE.B.8 $a_4$ 를 최소로 만듭니다. $a_4$ 는 $18$ 보다 크고 $a_5$ 보다 작은 양의 정수여야 합니다. $18$ 보다 큰 가장 작은 정수
[5] #11 6.EE.B.7 총합에서 $a_5$ 를 구합니다. 나머지 네 자리의 합은 $1 + 2 + 18 + 19 = 40$ 이므로 $a_5 = 75 - 40 = 35$.

검토

합리성 확인: $a_5$ 를 $35$ 보다 더 키울 수 있는지 점검합니다. 그러려면 나머지 네 자리의 합이 $40$ 보다 작아져야 합니다. 그런데 중앙값 아래 두 자리는 이미 바닥 ($1 + 2 = 3$) 이고 중앙값은 $18$ 로 고정이므로, 줄일 여지는 $a_4$ 뿐. 하지만 $a_4$ 는 $18 < a_4 < a_5$ 인 정수여야 하므로 $a_4 \geq 19$ — 이미 최소입니다. 더 줄일 곳이 없으므로 $35$ 가 진짜 상한이고, 답 (D) 와 일치합니다. 다른 선택지는 모두 무너집니다 — (A) $19$ 는 $a_4$ 의 최솟값일 뿐 $a_5$ 가 아니고, (B) $24$ 와 (C) $32$ 는 예산을 다 쓰지 않아 더 키울 여지가 남으며, (E) $40$ 은 나머지 네 자리의 합이 $35$ 가 되어야 하는데 최솟값들의 합 $1 + 2 + 18 + 19 = 40$ 이미 그보다 크므로 불가능.

대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기) 로 선택지를 큰 쪽부터 시험해 보기. (E) $a_5 = 40$ 가정: 나머지 네 수의 합 $= 75 - 40 = 35$, 그중 $18$ 을 빼면 나머지 세 수의 합 $= 17$. 그런데 그 세 수는 $1, 2$ ($18$ 미만의 서로 다른 양의 정수 최소) 와 $19$ ($18$ 초과 $40$ 미만의 정수 최소) 로 최소 $1 + 2 + 19 = 22 > 17$ — 불가능, (E) 제외. (D) $a_5 = 35$ 가정: 나머지 네 수의 합 $= 40$, 그리고 $1 + 2 + 18 + 19 = 40$ 으로 정확히 맞음 — 가능. 따라서 도달 가능한 최댓값은 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

  • 6.SP.A.3 수치자료의 중심 측도는 모든 값을 하나의 수로 요약한다는 것 이해 ("중앙값 $= 18$" 을 "정렬한 다섯 수의 가운데 (세 번째) 값이 $18$" 로 읽어 $a_3$ 을 고정하고, 나머지 네 자리를 아래 둘 / 위 둘로 나누는 데 사용.)
  • 6.SP.B.5 수치자료를 맥락에 맞춰 요약하기 (다섯 수의 평균 $= 15$ 를 고정된 총합 $a_1 + \cdots + a_5 = 75$ 로 바꿔, 그 예산을 자리별로 나누는 데 사용.)
  • 6.EE.B.7 $x + p = q$, $px = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (네 자리를 최솟값으로 못 박은 뒤 $1 + 2 + 18 + 19 + a_5 = 75$ 를 풀어 $a_5 = 35$ 를 구하는 데 사용.)
  • 6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식으로 조건 나타내기 (중앙값·서로 다른 양의 정수 조건을 $a_1 < a_2 < 18 < a_4 < a_5$ 로 적고, 각 부등식을 만족하는 가장 작은 정수를 고르는 데 사용.)

⭐ 평균이 고정이면 총합도 고정. 한 수를 가장 크게 만들려면 나머지 네 수를 법이 허용하는 가장 작은 값까지 끌어내리면 됩니다. 여기서는 최솟값이 $1, 2, 18, 19$ 이므로 가장 큰 수는 $75 - 40 = 35$ — 답은 (D).

⭐ 평균이 고정이면 총합도 고정. 한 수를 가장 크게 만들려면 나머지 네 수를 법이 허용하는 가장 작은 값까지 끌어내리면 됩니다. 여기서는 최솟값이 $1, 2, 18, 19$ 이므로 가장 큰 수는 $75 - 40 = 35$ — 답은 (D).

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