AMC 8 · 2001 · #7
학년 6 geometry-2d문제
To promote her school's annual Kite Olympics, Genevieve makes a small kite and a large kite for a bulletin board display. The kites look like the one in the diagram. For her small kite Genevieve draws the kite on a one-inch grid. For the large kite she triples both the height and width of the entire grid.
What is the number of square inches in the area of the small kite?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1$ 인치 격자 위에 연이 그려져 있습니다. 그림에서 네 꼭짓점은 $(3,0)$, $(0,5)$, $(3,7)$, $(6,5)$ 입니다. 이 작은 연의 넓이를 제곱인치 단위로 구하세요.
주어진 것: $1$ 인치 격자 — 이웃한 두 점 사이는 $1$ 인치; 꼭짓점: 아래 $(3,0)$, 왼쪽 $(0,5)$, 위 $(3,7)$, 오른쪽 $(6,5)$; 선택지: (A) $21$, (B) $22$, (C) $23$, (D) $24$, (E) $25$
구하는 것: 작은 연의 넓이 (제곱인치)
이해
문제 재정리: $1$ 인치 격자 위에 연이 그려져 있습니다. 그림에서 네 꼭짓점은 $(3,0)$, $(0,5)$, $(3,7)$, $(6,5)$ 입니다. 이 작은 연의 넓이를 제곱인치 단위로 구하세요.
주어진 것: $1$ 인치 격자 — 이웃한 두 점 사이는 $1$ 인치; 꼭짓점: 아래 $(3,0)$, 왼쪽 $(0,5)$, 위 $(3,7)$, 오른쪽 $(6,5)$; 선택지: (A) $21$, (B) $22$, (C) $23$, (D) $24$, (E) $25$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
문제 전체가 격자 위에 있으므로 도구 #1(그림 그리기) 이 진입로입니다. 연을 좌표 위에 놓고 점에서 바로 길이를 읽어 내면, $(0,5)$ 와 $(6,5)$ 를 잇는 가로 선분이 자연스러운 자르는 선으로 떠오릅니다. 이 선분으로 연을 위·아래 두 삼각형으로 나누는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 하나의 까다로운 사각형이 밑변 $\times$ 높이 $\div 2$ 만 알면 되는 두 개의 쉬운 삼각형이 됩니다.
실행 — 정답: A
5.G.A.2 단계 1 - 연을 격자 위에 놓고 꼭짓점을 읽습니다.
- 왼쪽 아래 점을 $(0,0)$ 으로 잡고 점을 세면 네 꼭짓점은 아래 $B=(3,0)$, 왼쪽 $L=(0,5)$, 위 $T=(3,7)$, 오른쪽 $R=(6,5)$ 입니다.
- $L$ 과 $R$ 의 $y$ 좌표가 모두 $5$ 이므로 $LR$ 는 가로 선분입니다.
💡 5학년 좌표평면 표준: 격자점은 정확한 $(x,y)$ 를 주고, $y$ 가 같은 점들은 가로선 위에 놓입니다.
6.G.A.1 단계 2 - 가로 선분 $LR$ 를 따라 자릅니다.
- 연은 위쪽 삼각형 $\triangle TLR$ 와 아래쪽 삼각형 $\triangle BLR$ 로 갈라지며, 두 삼각형은 같은 밑변 $LR$ 을 공유합니다.
- 길이는 $6 - 0 = 6$ 인치.
💡 6학년 표준: 한 공식으로 처리되지 않는 다각형은 삼각형으로 쪼개어 넓이를 구하는 것이 정공법입니다.
5.G.A.2 단계 3 - 각 삼각형의 꼭지점에서 밑변 $y=5$ 까지의 높이를 구합니다.
- 위 꼭지점 $T=(3,7)$ 은 밑변 위로 $7-5=2$ 인치, 아래 꼭지점 $B=(3,0)$ 은 밑변 아래로 $5-0=5$ 인치 떨어져 있습니다.
💡 가로선까지의 수직거리는 단순히 $y$ 의 차이 — 피타고라스를 쓸 필요가 없습니다.
6.G.A.1 단계 4 - 두 삼각형 각각에 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$ 를 적용하고 더합니다.
- 밑변은 둘 다 $6$.
💡 두 삼각형의 넓이를 더하는 것은 6학년의 "쪼개고 — 계산하고 — 합치기" 그대로입니다.
5.G.A.2 연을 격자 위에 놓고 꼭짓점을 읽습니다. 왼쪽 아래 점을 $(0,0)$ 으로 잡고 점을 세면 네 꼭짓점은 아래 $B=(3,0)$, 왼쪽 $L=( 6.G.A.1 가로 선분 $LR$ 를 따라 자릅니다. 연은 위쪽 삼각형 $\triangle TLR$ 와 아래쪽 삼각형 $\triangle BLR$ 로 갈라지며 5.G.A.2 각 삼각형의 꼭지점에서 밑변 $y=5$ 까지의 높이를 구합니다. 위 꼭지점 $T=(3,7)$ 은 밑변 위로 $7-5=2$ 인치, 아래 꼭지점 $ 6.G.A.1 두 삼각형 각각에 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$ 를 적용하고 더합니다. 밑변 검토
합리성 확인: 두 가지 확인. (1) 외접 직사각형: 연은 $(0,0)$ ~ $(6,7)$ 의 $6 \times 7 = 42$ 직사각형 안에 들어가고, 연은 보통 그 직사각형의 절반 정도를 채웁니다 — 그러면 $\tfrac{42}{2} = 21$ 로 정답과 일치. (2) 연의 대각선 공식: 두 대각선은 $BT$(길이 $7$) 와 $LR$(길이 $6$), $\tfrac{1}{2}d_1d_2 = \tfrac{1}{2}\cdot 7 \cdot 6 = 21$ — 완전히 다른 길에서도 같은 답.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 와 외접 직사각형 어림. $6 \times 7$ 직사각형 넓이가 $42$ 이므로 연의 넓이는 $42$ 미만이고, 연이 직사각형 대부분을 차지하므로 절반보다 충분히 큽니다. $22, 23, 24, 25$ 라면 절반 넘게 더 채워야 하지만, 네 모서리 잘려나간 빈 삼각형들이 그보다 훨씬 큽니다. 절반에 딱 맞는 $21$ 만 일관되므로 (A) 가 확정됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.G.A.2좌표평면의 1사분면에 점을 그려 실세계·수학 문제를 표현하고, 좌표값을 상황 속에서 해석하기 (격자에서 연의 네 꼭짓점을 순서쌍으로 읽고, 좌표 차이로 변의 길이를 구하는 데 사용.)6.G.A.1직각삼각형·일반 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 직사각형으로 합치거나 삼각형 등으로 쪼개어 구하기 (연을 가로 대각선을 따라 두 삼각형으로 쪼개고 넓이를 더해 $6+15=21$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 격자에서 꼭짓점을 읽고, $y=5$ 가로선을 따라 연을 두 삼각형으로 잘라 더합니다 — $\tfrac{1}{2}(6)(2) + \tfrac{1}{2}(6)(5) = 21$, 답은 (A). 6학년의 "쪼개서 넓이 구하기" 한 수로 AMC 8 기하 문제가 풀립니다.
⭐ 격자에서 꼭짓점을 읽고, $y=5$ 가로선을 따라 연을 두 삼각형으로 잘라 더합니다 — $\tfrac{1}{2}(6)(2) + \tfrac{1}{2}(6)(5) = 21$, 답은 (A). 6학년의 "쪼개서 넓이 구하기" 한 수로 AMC 8 기하 문제가 풀립니다.
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