AMC 8 · 2002 · #13

학년 6 geometry-3d

volume-rectangular-prismexponentssimilar-figuresspatial-visualization dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticvolume-rectangular-prism

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

For his birthday, Bert gets a box that holds 125 jellybeans when filled to capacity. A few weeks later, Carrie gets a larger box full of jellybeans. Her box is twice as high, twice as wide and twice as long as Bert's. Approximately, how many jellybeans did Carrie get?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

250

(B)

500

(C)

625

(D)

750

(E)

1000

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 버트의 상자에는 젤리빈 $125$ 개가 꽉 찹니다. 캐리의 상자는 모양은 같지만 가로, 세로, 높이가 각각 두 배입니다. 캐리의 상자에는 젤리빈이 약 몇 개 들어갈까요?

주어진 것: 버트의 상자에는 젤리빈 $125$ 개가 꽉 찬다; 캐리의 상자는 가로, 세로, 높이가 모두 버트 상자의 두 배; 젤리빈 개수는 상자의 부피에 비례한다; 선택지: (A) $250$, (B) $500$, (C) $625$, (D) $750$, (E) $1000$

구하는 것: 캐리의 상자에 들어가는 젤리빈의 대략적인 개수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

버트 상자의 실제 가로·세로·높이는 주어져 있지 않고, 부피가 $125$ 라는 사실만 알려져 있어요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 조건에 맞는 편한 수를 직접 골라 봅시다. $125 = 5 \times 5 \times 5$ 이므로 버트의 상자를 $5 \times 5 \times 5$ 정육면체로 두면 부피가 정확히 $125$ 입니다. 그러면 캐리의 상자는 $10 \times 10 \times 10$ 이 되어 곧장 곱셈으로 답이 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세 변이 각각 따로 두 배가 되는 것을 처리해 줘서, 부피 배율이 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 임을 보여 줍니다. 그래서 버트 상자가 어떤 모양이든 $125 \times 8 = 1000$ 이라는 같은 답이 나옵니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.MD.C.5 단계 1

버트의 상자에 편한 변 길이를 골라 줍니다.
$125 = 5 \times 5 \times 5$ 이므로 버트의 상자를 $5 \times 5 \times 5$ 정육면체로 보겠습니다.
부피는 $125$ 가 되어 조건에 맞습니다.

$$\text{버트: } 5 \times 5 \times 5 = 125$$

💡 5학년 부피 단원 그대로입니다 — 직육면체 부피는 가로 $\times$ 세로 $\times$ 높이이므로 곱이 $125$ 가 되는 어떤 세 수를 골라도 되고, 정육면체가 가장 단순합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.MD.C.5 단계 2

각 변을 두 배로 늘려 캐리의 상자를 만듭니다.
$5 \times 5 \times 5$ 의 모든 변이 $10$ 이 되어 $10 \times 10 \times 10$ 상자가 됩니다.

$$\text{캐리: } (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 10 \times 10 \times 10$$

💡 가로·세로·높이가 각각 독립된 작은 문제입니다 — 셋 다 따로따로 두 배가 됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.MD.C.5 단계 3

캐리의 부피를 직접 계산해 젤리빈 개수를 읽어냅니다.

$$10 \times 10 \times 10 = 1000 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 같은 부피 공식, 단지 수만 더 커집니다. 답은 선택지 (E) 와 일치합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

버트 상자의 실제 모양과 무관하게 답이 같은지 배율로 확인합니다.
세 변이 각각 두 배가 되면 부피는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 배가 되므로 캐리의 상자에는 항상 버트의 $8$ 배가 들어갑니다.

$$125 \times 8 = 1000$$

💡 6학년 비율 추론: 각 변을 $2$ 배 하면 부피는 $2$ 의 세제곱만큼 커집니다. 정육면체가 아니어도 어떤 직육면체든 $8$ 배가 됩니다.

[1] #9 5.MD.C.5 버트의 상자에 편한 변 길이를 골라 줍니다. $125 = 5 \times 5 \times 5$ 이므로 버트의 상자를 $5 \times 5 \ti

[2] #7 5.MD.C.5 각 변을 두 배로 늘려 캐리의 상자를 만듭니다. $5 \times 5 \times 5$ 의 모든 변이 $10$ 이 되어 $10 \times 10

[3] #9 5.MD.C.5 캐리의 부피를 직접 계산해 젤리빈 개수를 읽어냅니다.

[4] #7 6.RP.A.3 버트 상자의 실제 모양과 무관하게 답이 같은지 배율로 확인합니다. 세 변이 각각 두 배가 되면 부피는 $2 \times 2 \times 2 =

검토

합리성 확인: 두 가지 확인이 일치합니다. 첫째, 구체적인 $5 \times 5 \times 5 \to 10 \times 10 \times 10$ 모델로 $1000$ 이 나옵니다. 둘째, 배율 논리로 $125 \times 8 = 1000$ 이 나오며 버트 상자의 모양은 필요하지 않습니다. 다른 선택지는 쉽게 제거됩니다 — $250$ 은 한 변만 두 배일 때, $500$ 은 두 변만 두 배일 때이고, $625 = 125 \times 5$ 는 이 문제 상황에서 기하적 의미가 없습니다. 세 변을 모두 두 배 한 경우와 맞는 값은 (E) $1000$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 버트 상자의 크기를 $L \times W \times H$ 라 하고 $L \cdot W \cdot H = 125$. 캐리의 상자는 $2L \times 2W \times 2H$ 이므로 부피는 $(2L)(2W)(2H) = 8 \cdot L W H = 8 \cdot 125 = 1000$. 변하지 않는 변 길이를 문자로 두는 방식으로도 같은 답 (E) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.MD.C.5 부피를 곱셈·덧셈과 연결하고 부피와 관련된 실생활·수학 문제 해결 (버트의 $125$ 개 상자를 $5 \times 5 \times 5$ 정육면체로, 캐리의 상자를 $10 \times 10 \times 10$ 으로 모델링한 뒤 가로 $\times$ 세로 $\times$ 높이를 곱해 젤리빈 개수를 세는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론을 이용해 실생활·수학 문제 해결 (세 변을 각각 두 배 하면 부피가 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 배가 됨을 활용해, 어떤 모양의 상자든 캐리는 $8 \times 125 = 1000$ 개를 담음을 보이는 데 사용.)

⭐ 한 변을 두 배 하면 부피는 두 배, 두 변이면 네 배, 세 변이면 $8$ 배가 됩니다. 그래서 캐리의 상자에는 $125 \times 8 = 1000$ 개가 들어가요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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