AMC 8 · 2002 · #19

학년 4 countingnumber-theory

digit-constraintsplace-valuesystematic-enumerationpermutations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

How many whole numbers between 99 and 999 contain exactly one 0?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

144

(D)

162

(E)

180

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $99$ 보다 크고 $999$ 보다 작은 정수 중, 숫자 $0$ 을 정확히 한 번 포함하는 수의 개수를 구하세요.

주어진 것: 대상 범위는 $100$ 부터 $998$ 까지의 세 자리 정수; 각 수는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리로 이루어진다; 선택지: (A) $72$, (B) $90$, (C) $144$, (D) $162$, (E) $180$

구하는 것: $0$ 이 정확히 한 개 들어있는 세 자리 수의 개수

이해

문제 재정리: $99$ 보다 크고 $999$ 보다 작은 정수 중, 숫자 $0$ 을 정확히 한 번 포함하는 수의 개수를 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

백의 자리는 $0$ 이 될 수 없으니, 단 하나의 $0$ 은 십의 자리 또는 일의 자리에 있어야 합니다. 이 관찰만으로 문제가 두 개의 깔끔한 작은 문제로 갈라집니다 (도구 #7) — "$0$ 이 십의 자리" 와 "$0$ 이 일의 자리." 각 작은 문제는 자리별 선택지 개수만 세는 짧은 계산이라 체계적인 나열 (도구 #2) 에 딱 맞습니다. 두 경우는 $0$ 의 위치가 달라 겹치지 않으므로 마지막에 그냥 더하면 됩니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.1 단계 1

$0$ 의 위치에 따라 나눕니다.
세 자리 수를 $h\,t\,u$ (백·십·일) 로 쓰면 $h$ 는 $0$ 이 될 수 없으므로, 유일한 $0$ 은 십의 자리 아니면 일의 자리에 있어야 합니다.
그래서 겹치지 않는 두 경우가 생깁니다 — 경우 T ($0$ 이 십의 자리, 꼴 $h\,0\,u$) 와 경우 U ($0$ 이 일의 자리, 꼴 $h\,t\,0$).

$$\text{전체} = \#\{h\,0\,u\} + \#\{h\,t\,0\}$$

💡 세 자리 자릿값 (백·십·일) 은 3학년 내용이고, 제한은 "맨 앞이 $0$ 이면 안 된다" 하나뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 2

경우 T 의 개수: $h\,0\,u$ 꼴.
백의 자리 $h$ 는 $1$ 부터 $9$ 까지 $9$ 가지.
십의 자리는 $0$ 으로 고정되어 $1$ 가지.
일의 자리 $u$ 는 $0$ 이면 안 되므로 (그러면 $0$ 이 두 개) $1$ 부터 $9$ 까지 $9$ 가지.
자리별 선택지를 모두 곱합니다.

$$\#\{h\,0\,u\} = 9 \times 1 \times 9 = 81$$

💡 독립된 자리의 선택지가 곱해져 전체 가짓수가 됩니다 — 4학년 문장제에서 만나는 "셔츠 $9$ 종 $\times$ 바지 $9$ 종" 과 같은 이치.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

경우 U 의 개수: $h\,t\,0$ 꼴.
백의 자리 $h$ 는 $1$ 부터 $9$ 까지 $9$ 가지.
십의 자리 $t$ 는 $0$ 이면 안 되므로 (그러면 $0$ 이 두 개) $1$ 부터 $9$ 까지 $9$ 가지.
일의 자리는 $0$ 으로 고정되어 $1$ 가지.

$$\#\{h\,t\,0\} = 9 \times 9 \times 1 = 81$$

💡 경우 T 와 대칭 — 고정된 $0$ 이 일의 자리로 옮겨갔을 뿐, 개수는 같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

두 경우의 수를 더합니다.
경우 T 와 경우 U 는 $0$ 의 위치가 달라 같은 수를 가리키는 일이 없으므로, 그냥 합산하면 됩니다.

$$81 + 81 = 162 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 겹치지 않는 경우는 더한다 — "작은 문제로 쪼개기" 의 마무리 동작입니다.

[1] #7 3.NBT.A.1 $0$ 의 위치에 따라 나눕니다. 세 자리 수를 $h\,t\,u$ (백·십·일) 로 쓰면 $h$ 는 $0$ 이 될 수 없으므로, 유일한 $0$

[2] #2 4.OA.A.3 경우 T 의 개수: $h\,0\,u$ 꼴. 백의 자리 $h$ 는 $1$ 부터 $9$ 까지 $9$ 가지. 십의 자리는 $0$ 으로 고정되어 $1$

[3] #2 4.OA.A.3 경우 U 의 개수: $h\,t\,0$ 꼴. 백의 자리 $h$ 는 $1$ 부터 $9$ 까지 $9$ 가지. 십의 자리 $t$ 는 $0$ 이면 안 되

[4] #7 4.OA.A.3 두 경우의 수를 더합니다. 경우 T 와 경우 U 는 $0$ 의 위치가 달라 같은 수를 가리키는 일이 없으므로, 그냥 합산하면 됩니다.

검토

합리성 확인: 답의 크기 감각을 확인합니다. 전체 세 자리 수는 $9 \times 10 \times 10 = 900$ 개. 그중 약 $\tfrac{1}{5}$ ($162/900 = 0.18$) 가 $0$ 을 정확히 한 번만 포함한다는 결과는 자연스럽습니다 — 십·일의 자리에서 $0$ 부터 $9$ 까지 어느 숫자나 똑같이 나올 수 있으니, 한 번만 $0$ 인 수는 의미 있지만 작은 비중을 차지해야 하니까요. 또한 $162 = 2 \times 81$ 은 "두 경우가 대칭" 이라는 풀이 구조와도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기) — 포함·배제로 접근: 십의 자리가 $0$ 인 세 자리 수의 개수 ($9 \cdot 1 \cdot 10 = 90$) 와 일의 자리가 $0$ 인 개수 ($9 \cdot 10 \cdot 1 = 90$) 를 더한 뒤, 둘 다 $0$ 인 수 ($9 \cdot 1 \cdot 1 = 9$ — 이건 $0$ 이 두 개라 "하나" 가 아님) 를 두 번 빼면 $90 + 90 - 2 \cdot 9 = 162$. 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.NBT.A.1 세 자리 수의 자릿값 (백·십·일) 이해하기 (각 후보 수를 백·십·일 세 자리 $h\,t\,u$ 로 읽어 단 하나의 $0$ 이 어느 자리에 있는지 추적하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용하는 여러 단계 문장제 풀기 (각 경우에서 자리별 선택지 개수를 곱해 ($9 \times 1 \times 9 = 81$) 두 경우의 합 ($81 + 81 = 162$) 을 구하는 데 사용.)

⭐ 단 하나의 $0$ 이 들어갈 자리는 둘 (십·일) 뿐이고, 각 자리마다 $9 \times 9 = 81$ 개의 수가 나옵니다 — 그래서 답은 $81 + 81 = 162$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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