AMC 8 · 2003 · #10
학년 6 geometry-2d문제
Problems 8, 9 and 10 use the data found in the accompanying paragraph and figures
Four friends, Art, Roger, Paul and Trisha, bake cookies, and all cookies have the same thickness. The shapes of the cookies differ, as shown.
Art's cookies are trapezoids:
Roger's cookies are rectangles:
Paul's cookies are parallelograms:
Trisha's cookies are triangles:
How many cookies will be in one batch of Trisha's cookies?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 친구가 두께가 같은 쿠키를 굽고, 한 묶음에 쓰는 반죽의 양은 모두 같습니다. 아트의 쿠키는 사다리꼴(평행한 두 변 $5$ in, $3$ in, 높이 $3$ in)이고 한 묶음에 $12$ 개 들어 있습니다. 트리샤의 쿠키는 두 직각변이 $3$ in, $4$ in 인 직각삼각형입니다. 트리샤의 한 묶음에는 쿠키가 몇 개 들어 있을까요?
주어진 것: 모든 쿠키의 두께가 같으므로 반죽의 양 $\propto$ 윗면 넓이; 한 묶음에 쓰는 전체 반죽의 양은 모두 같다; 아트의 쿠키는 평행한 변이 $5$ in, $3$ in 이고 높이가 $3$ in 인 사다리꼴; 아트의 한 묶음에는 $12$ 개의 쿠키가 들어 있다 (이어진 문제에서 주어진 힌트); 트리샤의 쿠키는 두 직각변이 $3$ in, $4$ in 인 직각삼각형; 선택지: (A) $10$, (B) $12$, (C) $16$, (D) $18$, (E) $24$
구하는 것: 트리샤의 한 묶음에 들어 있는 쿠키 개수
이해
문제 재정리: 네 친구가 두께가 같은 쿠키를 굽고, 한 묶음에 쓰는 반죽의 양은 모두 같습니다. 아트의 쿠키는 사다리꼴(평행한 두 변 $5$ in, $3$ in, 높이 $3$ in)이고 한 묶음에 $12$ 개 들어 있습니다. 트리샤의 쿠키는 두 직각변이 $3$ in, $4$ in 인 직각삼각형입니다. 트리샤의 한 묶음에는 쿠키가 몇 개 들어 있을까요?
주어진 것: 모든 쿠키의 두께가 같으므로 반죽의 양 $\propto$ 윗면 넓이; 한 묶음에 쓰는 전체 반죽의 양은 모두 같다; 아트의 쿠키는 평행한 변이 $5$ in, $3$ in 이고 높이가 $3$ in 인 사다리꼴; 아트의 한 묶음에는 $12$ 개의 쿠키가 들어 있다 (이어진 문제에서 주어진 힌트); 트리샤의 쿠키는 두 직각변이 $3$ in, $4$ in 인 직각삼각형; 선택지: (A) $10$, (B) $12$, (C) $16$, (D) $18$, (E) $24$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #8 단위 살펴보기
두께가 같고 전체 반죽도 같으니, 반죽의 양은 결국 윗면 넓이와 같은 의미입니다. 그래서 문제 전체를 세 개의 작은 문제로 쪼개면 됩니다 (도구 #7): (가) 아트 쿠키 한 개의 넓이, (나) 한 묶음 전체 반죽 넓이 $= $ 아트 쿠키 $12$ 개의 넓이, (다) 트리샤 쿠키 한 개의 넓이. 그러면 트리샤의 쿠키 개수는 (나) $\div$ (다) 입니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 계산을 깔끔하게 만들어 줍니다 — "in$^2$/개" $\times$ "개" $= $ in$^2$, 그리고 in$^2$ $\div$ "in$^2$/개" $= $ 개. 단위가 정확히 정리되니까 이 방법이 작동한다는 게 보입니다.
실행 — 정답: E
6.G.A.1 단계 1 - 작은 문제 (가): 아트 쿠키 한 개의 넓이.
- 사다리꼴의 평행한 두 변은 $b_1 = 5$ in, $b_2 = 3$ in, 높이는 $h = 3$ in 입니다.
💡 6학년 "특수 사각형의 넓이" — 평행한 두 변의 평균에 높이를 곱합니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 작은 문제 (나): 한 묶음의 전체 반죽 넓이.
- 아트는 한 개에 $12$ in$^2$ 인 쿠키를 $12$ 개 굽기 때문에 묶음 전체로는 $12 \times 12$ 제곱인치를 씁니다.
- 친구들 모두 같은 양의 반죽을 쓰므로 이 값은 트리샤의 묶음에서도 똑같습니다.
💡 "개" 와 "in$^2$/개" 를 곱하면 "개" 가 사라지고 in$^2$ 만 남습니다 — 우리가 원하던 반죽 넓이 그대로입니다.
6.G.A.1 단계 3 - 작은 문제 (다): 트리샤 쿠키 한 개의 넓이.
- 두 직각변 $3$ in 과 $4$ in 이 그대로 밑변과 높이가 됩니다.
💡 6학년 "직각삼각형의 넓이" — 밑변과 높이를 곱한 값의 절반.
6.RP.A.3 단계 4 - 세 결과를 합칩니다.
- 전체 반죽 넓이를 트리샤 쿠키 한 개의 넓이로 나누면 몇 개가 들어가는지가 나옵니다.
💡 in$^2$ 를 "in$^2$/개" 로 나누면 in$^2$ 가 사라지고 "개" 가 남습니다 — 단위 점검만으로도 답이 개수가 맞다는 게 보입니다.
6.G.A.1 작은 문제 (가): 아트 쿠키 한 개의 넓이. 사다리꼴의 평행한 두 변은 $b_1 = 5$ in, $b_2 = 3$ in, 높이는 $h = 3$ 6.RP.A.3 작은 문제 (나): 한 묶음의 전체 반죽 넓이. 아트는 한 개에 $12$ in$^2$ 인 쿠키를 $12$ 개 굽기 때문에 묶음 전체로는 $12 6.G.A.1 작은 문제 (다): 트리샤 쿠키 한 개의 넓이. 두 직각변 $3$ in 과 $4$ in 이 그대로 밑변과 높이가 됩니다. 6.RP.A.3 세 결과를 합칩니다. 전체 반죽 넓이를 트리샤 쿠키 한 개의 넓이로 나누면 몇 개가 들어가는지가 나옵니다. 검토
합리성 확인: 쿠키 크기를 비교해 점검해 봅시다. 트리샤 쿠키 한 개($6$ in$^2$)는 아트 쿠키 한 개($12$ in$^2$)의 정확히 절반 크기이므로, 같은 양의 반죽으로는 두 배의 쿠키를 만들 수 있습니다: $2 \times 12 = 24$. (E) 와 정확히 일치합니다. 함정 선택지도 흔한 실수와 연결돼 있습니다. (B) $12$ 는 아트 개수를 그대로 쓴 경우, (A) $10$ 과 (C) $16$ 은 넓이 계산을 어딘가에서 틀린 경우, (D) $18$ 은 삼각형 넓이의 $\tfrac{1}{2}$ 를 빠뜨린 경우입니다. (E) 만 살아남습니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 전체 반죽 넓이 $144$ 를 굳이 계산하지 않아도 됩니다. 쿠키 개수는 한 개의 넓이에 반비례하므로 $\dfrac{N_{\text{트리샤}}}{N_{\text{아트}}} = \dfrac{A_{\text{아트}}}{A_{\text{트리샤}}} = \dfrac{12}{6} = 2$. 따라서 $N_{\text{트리샤}} = 2 \times 12 = 24$. $144$ in$^2$ 를 거치지 않고도 같은 답 (E) 가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.G.A.1직각삼각형, 기타 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이 구하기 (아트 쿠키의 사다리꼴 넓이 $\tfrac{1}{2}(5+3)(3) = 12$ 와 트리샤 쿠키의 직각삼각형 넓이 $\tfrac{1}{2}(3)(4) = 6$ 을 계산하는 데 사용.)6.RP.A.3비와 비율 추론을 이용해 실세계 문제 해결하기 ("in$^2$/개" 라는 비율로 전체 반죽과 쿠키 개수를 오가는 데 사용 — $12 \text{ 개} \times 12 \tfrac{\text{in}^2}{\text{개}} = 144 \text{ in}^2$, 그리고 $144 \text{ in}^2 \div 6 \tfrac{\text{in}^2}{\text{개}} = 24$ 개.)
⭐ 반죽도, 두께도 같으니 쿠키 개수는 결국 한 개의 넓이로 결정됩니다. 트리샤 쿠키 한 개의 넓이가 아트 쿠키의 절반이니까 개수는 두 배 — $2 \times 12 = 24$.
⭐ 반죽도, 두께도 같으니 쿠키 개수는 결국 한 개의 넓이로 결정됩니다. 트리샤 쿠키 한 개의 넓이가 아트 쿠키의 절반이니까 개수는 두 배 — $2 \times 12 = 24$.