AMC 8 · 2003 · #19

학년 6 number-theory

lcmmultiplesprime-factorizationdivisibility-rules identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorizationmultiplesmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

How many integers between 1000 and 2000 have all three of the numbers 15, 20, and 25 as factors?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1000$ 과 $2000$ 사이에 있는 정수 중 $15, 20, 25$ 세 수 모두로 나누어떨어지는 정수의 개수를 구하세요.

주어진 것: 정수 $N$ 은 $1000 < N < 2000$ 을 만족; $15 \mid N$, $20 \mid N$, $25 \mid N$ 이 동시에 성립; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 모든 조건을 만족하는 정수 $N$ 의 개수

이해

문제 재정리: $1000$ 과 $2000$ 사이에 있는 정수 중 $15, 20, 25$ 세 수 모두로 나누어떨어지는 정수의 개수를 구하세요.

주어진 것: 정수 $N$ 은 $1000 < N < 2000$ 을 만족; $15 \mid N$, $20 \mid N$, $25 \mid N$ 이 동시에 성립; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 체계적으로 나열하기

세 가지 나누어떨어짐 조건이 한꺼번에 주어져 복잡해 보이지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 깔끔하게 둘로 나눌 수 있어요. 먼저 $\operatorname{lcm}(15, 20, 25)$ 를 구해 세 조건을 한 조건으로 합치고, 그다음 그 최소공배수의 배수 중 열린 구간 $(1000, 2000)$ 안에 들어가는 개수를 셉니다. LCM 이 나오면 후보가 몇 개 안 되니 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 직접 적어 보는 편이 식보다 빠르고 안전해요.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 1

작은 문제 1: 세 가지 나누어떨어짐 조건을 하나로 합칩니다.
$15, 20, 25$ 로 모두 나누어떨어지는 수는 세 수의 공배수이고, 공배수는 $\operatorname{lcm}(15, 20, 25)$ 의 배수와 같습니다.

$$15 \mid N \text{ 그리고 } 20 \mid N \text{ 그리고 } 25 \mid N \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{lcm}(15, 20, 25) \mid N$$

💡 하나의 LCM 조건이 세 가지 나누어떨어짐 체크를 대신합니다. 이것이 6학년 "최소공배수" 개념의 핵심이에요.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

소인수분해로 LCM 을 계산합니다.
각 수를 소수의 곱으로 적고, 등장하는 모든 소수의 가장 높은 거듭제곱을 골라 곱합니다.

$$15 = 3 \cdot 5, \;\; 20 = 2^2 \cdot 5, \;\; 25 = 5^2 \;\Rightarrow\; \operatorname{lcm} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$$

💡 $2$ 의 가장 높은 거듭제곱은 $2^2$ ($20$ 에서), $3$ 은 $3^1$ ($15$ 에서), $5$ 는 $5^2$ ($25$ 에서). 곱하면 $4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$.

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

작은 문제 2: $1000$ 과 $2000$ 사이에 있는 $300$ 의 배수를 적어 봅니다.
$1000$ 보다 큰 첫 배수부터 시작해 $300$ 씩 더해 가며 $2000$ 을 넘기 전까지 나열합니다.

$$300 \cdot 4 = 1200, \;\; 300 \cdot 5 = 1500, \;\; 300 \cdot 6 = 1800, \;\; 300 \cdot 7 = 2100$$

💡 $300 \cdot 3 = 900$ 은 범위 아래, $300 \cdot 7 = 2100$ 은 범위 위. $1000$ 과 $2000$ 사이의 값만 해당됩니다.

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

유효한 배수의 개수를 셉니다.
$1200, 1500, 1800$ 은 열린 구간 안에 있고, $900$ 과 $2100$ 은 들어가지 않습니다.

$$\{1200, \; 1500, \; 1800\} \;\Rightarrow\; 3 \text{ 개} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 짧은 나열만으로 답이 한눈에 보입니다 — 세 개가 들어갑니다.

[1] #7 6.NS.B.4 작은 문제 1: 세 가지 나누어떨어짐 조건을 하나로 합칩니다. $15, 20, 25$ 로 모두 나누어떨어지는 수는 세 수의 공배수이고, 공배수는

[2] #7 6.NS.B.4 소인수분해로 LCM 을 계산합니다. 각 수를 소수의 곱으로 적고, 등장하는 모든 소수의 가장 높은 거듭제곱을 골라 곱합니다.

[3] #2 4.OA.B.4 작은 문제 2: $1000$ 과 $2000$ 사이에 있는 $300$ 의 배수를 적어 봅니다. $1000$ 보다 큰 첫 배수부터 시작해 $300$

[4] #2 4.OA.A.3 유효한 배수의 개수를 셉니다. $1200, 1500, 1800$ 은 열린 구간 안에 있고, $900$ 과 $2100$ 은 들어가지 않습니다.

검토

합리성 확인: 나열한 수들이 정말로 $15, 20, 25$ 로 나누어떨어지는지 확인해 봅시다. $1200 = 15 \cdot 80 = 20 \cdot 60 = 25 \cdot 48$, $1500 = 15 \cdot 100 = 20 \cdot 75 = 25 \cdot 60$, $1800 = 15 \cdot 120 = 20 \cdot 90 = 25 \cdot 72$. 세 수 모두 통과합니다. 경계 부근의 $900$ 과 $2100$ 은 $(1000, 2000)$ 밖이므로 제외되는 것이 맞고, 따라서 답은 세 개, 선택지 (C) 입니다.

대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기): $N$ 이 $300$ 의 배수여야 하므로 $N = 300k$ 라 두면 $1000 < 300k < 2000$ 이 됩니다. 양변을 $300$ 으로 나누면 $\tfrac{10}{3} < k < \tfrac{20}{3}$, 즉 $3.33\ldots < k < 6.66\ldots$. 이 범위의 정수 $k$ 는 $4, 5, 6$ 세 개이므로 (C) 가 다시 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (세 가지 나누어떨어짐 조건을 하나의 LCM 조건으로 합치고, 소인수분해를 이용해 $\operatorname{lcm}(15, 20, 25) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$ 을 계산하는 데 사용.)
4.OA.B.4 1-100 범위에서 인수쌍 찾기와 배수 인식 ($300$ 의 배수를 순서대로 ($900, 1200, 1500, 1800, 2100$) 나열하고, 그중 $1000$ 과 $2000$ 사이에 들어가는 것을 가려내는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (조건을 만족하는 배수 $\{1200, 1500, 1800\}$ 의 개수를 세어 최종 답 $3$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 여러 나누어떨어짐 규칙이 한꺼번에 주어지면 사실은 LCM 규칙 하나로 합쳐져요. LCM 을 구한 뒤 범위 안 배수를 나열해 세면 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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