AMC 8 · 2003 · #24

학년 8 rate-ratio

graph-readingspatial-visualizationpattern-recognitionpythagorean-theorem identify-subproblemscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: graph-readingspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

A ship travels from point $A$ to point $B$ along a semicircular path, centered at Island $X$ . Then it travels along a straight path from $B$ to $C$ . Which of these graphs best shows the ship's distance from Island $X$ as it moves along its course?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Graph with an irregular/incorrect distance pattern

(B)

Horizontal segment at radius r, then a smooth symmetric curve dipping below r and returning to r

(C)

Horizontal segment at radius r, then a V-shape (two straight lines) dipping to a minimum and returning to r

(D)

Graph starting with a non-horizontal initial segment (incorrect first leg)

(E)

Graph starting with a non-horizontal initial segment (incorrect first leg)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 배가 $X$ 섬을 중심으로 하는 반원을 따라 $A$ 에서 $B$ 까지 간 뒤, $B$ 에서 $C$ 까지 직선으로 갑니다. 전체 여정 동안 $X$ 로부터의 거리를 가장 잘 나타내는 그래프를 고르세요. 그림에서 $X$ 는 반원의 중심이고 $C$ 는 $X$ 바로 위에서 반지름이 끝나는 점이므로 $XB = XC$, 각 $BXC = 90^\circ$ 입니다.

주어진 것: 구간 1: $A \to B$ 는 $X$ 를 중심으로 하는 반원; 구간 2: $B \to C$ 는 직선 구간; 그림상 $B$ 는 $X$ 의 오른쪽, $C$ 는 $X$ 의 바로 위에 있고 둘 다 $X$ 에서 반지름 $r$ 만큼 떨어져 있음; 선택지: (A)~(E) 다섯 개의 거리-시간 그래프

구하는 것: 전체 여정에서 $X$ 로부터의 거리를 가장 잘 나타내는 그래프

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

위치, 경로, 그래프가 등장하는 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 먼저 떠올라야 합니다. $X$ 를 원점에 두면 "섬으로부터의 거리"가 곧 "원점으로부터의 거리"가 되어 측정할 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)는 구간 $A \to B$ 와 $B \to C$ 를 따로 분석하라고 알려줍니다 — 두 구간이 따르는 규칙(원 vs. 직선)이 완전히 다르기 때문이죠. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 두 번째 구간에서 복잡한 식 대신 시작·중간·끝, 단 세 점만 확인하게 해주는데, 이것만으로도 그래프의 모양이 충분히 정해집니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

$X$ 를 원점에 두고 그림을 읽습니다.
반원의 반지름을 $r$ 이라 하면 $B = (r, 0)$, 그림상 $C = (0, r)$.
이제 "$X$ 까지의 거리"는 "원점까지의 거리"와 같습니다.

$$X=(0,0),\; A=(-r,0),\; B=(r,0),\; C=(0,r)$$

💡 6학년 좌표평면 도형: 핵심이 되는 점을 원점에 두면 모든 거리가 좌표에서 바로 읽힙니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

구간 1 ($A \to B$): $X$ 를 중심으로 하는 원 위의 모든 점은 $X$ 에서 같은 거리에 있습니다.
따라서 반원을 도는 동안 $X$ 까지의 거리는 반지름 $r$ 로 일정합니다.

$$A \to B \text{ 동안 } X \text{ 까지의 거리} = r$$

💡 7학년 원: 반지름은 원을 정의하는 상수이므로, 원을 따라가는 경로 위에서는 중심까지의 거리가 변할 수 없습니다.

#1 그림 그리기 8.F.B.5 단계 3

그래프에서 구간 1은 높이 $r$ 의 수평 직선입니다.
시작 부분이 수평이 아닌 선택지는 모두 탈락합니다.

$$\text{구간 1 그래프 조각: 높이 } r \text{ 의 수평 직선}$$

💡 8학년 그래프 읽기: "값이 일정"은 시간-값 그래프에서 "수평선"으로 옮겨집니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.G.A.3 단계 4

구간 2 ($B \to C$): 모든 점을 추적하는 대신 세 점만 봅니다 — 시작점 $B$, $BC$ 의 중점 $M$, 그리고 끝점 $C$.
이것이 "더 쉬운 문제"입니다.

$$M = \left(\tfrac{r}{2},\, \tfrac{r}{2}\right)$$

💡 6학년 좌표: 선분의 중점은 양 끝점 좌표의 평균입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.G.B.8 단계 5

피타고라스 정리로 세 거리를 계산합니다.
양 끝은 $r$ 이고 중점은 그보다 가깝습니다.

$$XB = r,\quad XM = \sqrt{\left(\tfrac{r}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{r}{2}\right)^2} = \dfrac{r}{\sqrt{2}} \approx 0.71\,r,\quad XC = r$$

💡 8학년 피타고라스 거리 공식: 원점에서 $(a,b)$ 까지의 거리는 $\sqrt{a^2 + b^2}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.F.B.5 단계 6

따라서 구간 2 동안 거리는 $r$ 에서 시작해 가운데에서 약 $0.71\,r$ 까지 내려갔다가 다시 $r$ 로 올라옵니다 — 대칭적으로 "움푹" 패인 곡선입니다.
또한 한 고정점에서 직선 위의 움직이는 점까지의 거리는 제곱근 식으로 변하므로 모양은 매끄러운 곡선이지 두 직선이 만나는 V자가 아닙니다.
V자 모양 선택지는 탈락.

$$\text{구간 2 그래프 조각: } r \to \tfrac{r}{\sqrt{2}} \to r \text{ 로 부드럽게 패인 U자 모양}$$

💡 8학년: 그래프의 V자는 "선형으로 변하다가 갑자기 꺾임"을 뜻합니다. 고정점에서 움직이는 직선 위의 점까지의 거리는 선형이 아니므로 곡선이 됩니다.

#1 그림 그리기 8.F.B.5 단계 7

두 조각을 이어 붙이면: 높이 $r$ 인 수평 구간 + 같은 높이 $r$ 로 다시 올라오는 부드러운 대칭 "움푹" 곡선.
정확히 이 모양인 선택지는 (B) 뿐입니다.

$$\text{답} = \textbf{(B)}$$

💡 8학년 그래프 맞추기: 각 구간의 정성적 특징(수평, 그다음 곡선 움푹)을 합쳐서 윤곽이 일치하는 단 하나의 그래프를 고릅니다.

[1] #1 6.G.A.3 $X$ 를 원점에 두고 그림을 읽습니다. 반원의 반지름을 $r$ 이라 하면 $B = (r, 0)$, 그림상 $C = (0, r)$. 이제 "$X

[2] #7 7.G.B.4 구간 1 ($A \to B$): $X$ 를 중심으로 하는 원 위의 모든 점은 $X$ 에서 같은 거리에 있습니다. 따라서 반원을 도는 동안 $X$

[3] #1 8.F.B.5 그래프에서 구간 1은 높이 $r$ 의 수평 직선입니다. 시작 부분이 수평이 아닌 선택지는 모두 탈락합니다.

[4] #9 6.G.A.3 구간 2 ($B \to C$): 모든 점을 추적하는 대신 세 점만 봅니다 — 시작점 $B$, $BC$ 의 중점 $M$, 그리고 끝점 $C$. 이

[5] #9 8.G.B.8 피타고라스 정리로 세 거리를 계산합니다. 양 끝은 $r$ 이고 중점은 그보다 가깝습니다.

[6] #7 8.F.B.5 따라서 구간 2 동안 거리는 $r$ 에서 시작해 가운데에서 약 $0.71\,r$ 까지 내려갔다가 다시 $r$ 로 올라옵니다 — 대칭적으로 "움푹

[7] #1 8.F.B.5 두 조각을 이어 붙이면: 높이 $r$ 인 수평 구간 + 같은 높이 $r$ 로 다시 올라오는 부드러운 대칭 "움푹" 곡선. 정확히 이 모양인 선택

검토

합리성 확인: 여정의 처음과 끝, 그리고 반원 전체가 모두 반지름 $r$ 인 점에 대한 답이어야 하고, 그래프 (B) 가 그 조건을 만족합니다. 구간 2 의 최소 거리 $r/\sqrt{2} \approx 0.71\,r$ 는 $r$ 보다 작지만 여전히 양수이므로 "부드럽게 패인 곡선"이 자연스럽습니다. 만약 (C) 의 V자라면 직선 위의 점에서 원점까지의 거리가 일정한 비율로 줄었다가 늘어난다는 뜻인데, 이는 사실이 아닙니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 구간 2 를 $(r - rt,\, rt),\; t \in [0,1]$ 로 매개변수화합니다. $X$ 까지의 거리는 $\sqrt{(r-rt)^2 + (rt)^2} = r\sqrt{2t^2 - 2t + 1}$ 이고, 근호 안 이차식의 꼭짓점은 $t = \tfrac{1}{2}$ 에서 최솟값을 가져 $r\sqrt{1/2} = r/\sqrt{2}$. 이차식의 제곱근은 매끄러운 곡선이므로 결론은 같습니다 — 답은 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 좌표가 주어진 다각형을 좌표평면에 그리고, 좌표로 길이와 위치를 구하기 ($X$ 를 원점에 두고 $A, B, C, M$ 의 좌표를 정해 거리를 좌표평면에서 바로 읽도록 하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 둘레와 넓이 공식을 알고 사용하며, 둘레와 넓이의 관계를 비형식적으로 설명하기 (원의 정의(중심에서 같은 거리)를 사용해 구간 1 에서 $X$ 까지의 거리가 $r$ 로 일정함을 보이는 데 사용.)
8.G.B.8 좌표평면에서 두 점 사이의 거리를 피타고라스 정리로 구하기 (원점 $X$ 에서 선분 $BC$ 위의 점들까지의 거리, 특히 $XM = \sqrt{(r/2)^2 + (r/2)^2} = r/\sqrt{2}$ 를 계산하는 데 사용.)
8.F.B.5 두 양 사이의 함수 관계를 그래프 분석을 통해 정성적으로 설명하기(증가·감소, 선형·비선형 등) (실제 여정을 거리-시간 그래프 모양(수평 + 매끄러운 비선형 대칭 곡선)으로 옮겨 그래프 (B) 와 일치시키는 데 사용.)

⭐ 어떤 점을 중심으로 원을 돌고 있을 때는 그 점까지의 거리가 변할 수 없고, 직선으로 가로지를 때는 거리가 항상 매끄러운 곡선으로 바뀝니다 — 절대 뾰족한 V자가 되지 않아요. 두 모양만 떠올리면 이 AMC 8 문제는 8학년 그래프 읽기로 풀립니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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