AMC 8 · 2009 · #19

학년 8 geometry-2d

angle-sum-triangleisosceles-triangle caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Two angles of an isosceles triangle measure $70^\circ$ and $x^\circ$ . What is the sum of the three possible values of $x$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

125

(C)

140

(D)

165

(E)

180

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이등변삼각형의 두 각이 $70^\circ$ 와 $x^\circ$ 입니다. 어느 쪽이 밑각인지 꼭지각인지는 정해져 있지 않으므로, $x$ 가 될 수 있는 값이 여러 개입니다. 가능한 $x$ 값을 모두 찾아서 더하면 됩니다.

주어진 것: 삼각형은 이등변삼각형이므로 세 각 중 두 각의 크기가 같다; 두 각의 크기가 $70^\circ$ 와 $x^\circ$ 이다; 선택지: (A) $95$, (B) $125$, (C) $140$, (D) $165$, (E) $180$

구하는 것: $x$ 가 될 수 있는 모든 값; 그 값들의 합

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기

"가능한 세 값의 합" 이라는 표현 자체가 경우가 정확히 세 개라는 힌트라서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)에 잘 맞습니다. "세 각 중 같은 두 각이 어느 쌍인가?" 를 기준으로 경우를 나눕니다 — $70^\circ$ 두 개가 같은 경우, $x^\circ$ 두 개가 같은 경우, $70^\circ$ 와 $x^\circ$ 가 같은 경우. 도구 #1(그림 그리기)로 같은 변을 표시한 간단한 스케치를 함께 그리면 각 경우가 또렷해져서 중복 없이 셀 수 있습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

이등변삼각형을 대충 하나 그리고 세 각에 이름을 붙입니다.
둘은 같아야 하고(밑각), 나머지 하나가 꼭지각입니다.
우리가 할 일은 주어진 $70^\circ$ 와 $x^\circ$ 가 각각 어느 자리에 들어가는지를 결정하는 것뿐입니다.

$$\text{세 각} = \{a, a, b\}, \;\; a + a + b = 180^\circ$$

💡 "같은 각 두 개 + 다른 각 한 개" 라는 이등변삼각형의 구조를 알아보는 것은 4학년의 "성질로 도형 분류하기" 입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.A.5 단계 2

경우 1: 같은 두 각이 모두 $70^\circ$ 이고, $x^\circ$ 가 나머지 꼭지각인 경우.
세 각의 합이 $180^\circ$ 라는 사실을 씁니다.

$$70 + 70 + x = 180 \;\Rightarrow\; x = 180 - 140 = 40$$

💡 "삼각형 세 각의 합은 $180^\circ$" 는 8학년의 "삼각형 내각 정리에 대한 비형식적 논의" 표준입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.A.5 단계 3

경우 2: 같은 두 각이 모두 $x^\circ$ 이고, $70^\circ$ 가 나머지 꼭지각인 경우.

$$x + x + 70 = 180 \;\Rightarrow\; 2x = 110 \;\Rightarrow\; x = 55$$

💡 같은 합 식에서 자리만 바꿔 푸는 깔끔한 도구 #2 분기입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2 단계 4

경우 3: $70^\circ$ 한 각과 $x^\circ$ 한 각이 "같은 두 각" 쌍을 이루는 경우.
같은 두 각의 크기가 같아야 하므로 $x = 70$ 입니다.
(그러면 나머지 한 각은 $180 - 70 - 70 = 40^\circ$ 로 양수이므로 진짜 삼각형이 만들어집니다.)

$$x = 70$$

💡 이등변삼각형의 두 밑각은 정의상 크기가 같다 — 4학년 분류 사실이 그대로 쓰입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.MD.C.7 단계 5

세 경우 모두 양수 각들로 이루어진 진짜 삼각형이 되므로 가능한 $x$ 값은 $40$, $55$, $70$ 입니다.
이들을 더합니다.

$$40 + 55 + 70 = 165 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 가능한 각의 크기 세 개를 단순히 더하는 것은 4학년 "각은 더할 수 있다" 의 가장 기본적인 활용입니다.

[1] #1 4.G.A.2 이등변삼각형을 대충 하나 그리고 세 각에 이름을 붙입니다. 둘은 같아야 하고(밑각), 나머지 하나가 꼭지각입니다. 우리가 할 일은 주어진 $70

[2] #2 8.G.A.5 경우 1: 같은 두 각이 모두 $70^\circ$ 이고, $x^\circ$ 가 나머지 꼭지각인 경우. 세 각의 합이 $180^\circ$ 라는

[3] #2 8.G.A.5 경우 2: 같은 두 각이 모두 $x^\circ$ 이고, $70^\circ$ 가 나머지 꼭지각인 경우.

[4] #2 4.G.A.2 경우 3: $70^\circ$ 한 각과 $x^\circ$ 한 각이 "같은 두 각" 쌍을 이루는 경우. 같은 두 각의 크기가 같아야 하므로 $x

[5] #2 4.MD.C.7 세 경우 모두 양수 각들로 이루어진 진짜 삼각형이 되므로 가능한 $x$ 값은 $40$, $55$, $70$ 입니다. 이들을 더합니다.

검토

합리성 확인: 세 후보 $x = 40, 55, 70$ 모두 실제 삼각형을 만듭니다 — 경우 1과 3의 삼각형은 세 각 집합으로 보면 똑같이 $(70, 70, 40)$ 이지만, $x$ 가 가리키는 자리가 다르므로 $x$ 의 값은 각각 $40$ 과 $70$ 으로 분명히 다릅니다. 모든 경우가 합 $180^\circ$ 와 "두 각이 같다" 를 만족하므로 세 후보 모두 유효합니다. 합 $40 + 55 + 70 = 165$ 는 선택지 (D) 와 일치하고, 어떤 $x$ 도 $180^\circ$ 가 될 수 없으므로 (E) $180$ 보다 작은 것도 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 좁힐 수도 있습니다. $x$ 가 "주어진 $70^\circ$ 와 짝을 이루는 밑각" 인 경우가 반드시 포함되므로 합에는 반드시 $70$ 이 들어가야 합니다. 그러면 (A) $95$, (B) $125$ 는 나머지 두 값($40, 55$) 까지 담기에는 너무 작고, (E) $180$ 은 어딘가에 $0^\circ$ 각이 있어야 가능하므로 불가능합니다. 남는 후보는 (C) $140$ 과 (D) $165$ 뿐이고, $40 + 55 + 70$ 한 줄 계산으로 (D) 확정.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 선과 각의 성질에 따라 평면도형 분류하기 (이등변삼각형이 "같은 두 밑각" 을 가진다는 구조적 사실을 사용해 세 경우를 만들어 내는 데 사용.)
4.MD.C.7 각의 크기는 더할 수 있다는 사실을 인식하고 미지 각 구하기 (가능한 세 각 값($40 + 55 + 70$) 을 합산해 문제가 요구하는 합을 구하고, 삼각형의 세 각을 $180^\circ$ 의 합 부분으로 다루는 데 사용.)
8.G.A.5 삼각형 내각의 합 등에 관한 비형식적 논의 ("삼각형 세 각의 합은 $180^\circ$" 를 적용해 $70 + 70 + x = 180$ 과 $x + x + 70 = 180$ 을 푸는 데 사용.)

⭐ "가능한 값" 을 물으면 경우를 짧게 나열해 보세요 — 이 문제는 같은 두 각의 짝을 정하는 세 가지 경우뿐, 그 답들을 더하면 끝입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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