AMC 8 · 2007 · #16

학년 8 geometry-2d

graph-readingarea-circlesperimeterpattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: area-circlesperimeter

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

Amanda Reckonwith draws five circles with radii $1, 2, 3, 4$ and $5$ . Then for each circle she plots the point $(C,A)$ ,
where $C$ is its circumference and $A$ is its area. Which of the
following could be her graph?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 2, 4, 7, 11, 16 — gaps grow 2, 3, 4, 5 (concave-up, quadratic-like)

(B)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 9, 6, 6, 9, 15 — dips then rises (non-monotonic)

(C)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 2, 6, 8, 6, 2 — rises then falls (inverted-U)

(D)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 2, 5, 8, 11, 14 — gaps all 3 (linear)

(E)

(C vs A scatter) five points with x equally spaced; y-values 15, 10, 6, 3, 1 — strictly decreasing

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $r = 1, 2, 3, 4, 5$ 인 원 다섯 개에 대해, Amanda 는 각 원마다 $(C, A)$ 점을 그립니다. 여기서 $C = 2\pi r$ 은 둘레, $A = \pi r^2$ 은 넓이입니다. 다섯 개의 산점도 중 그녀의 그래프가 될 수 있는 것은 어느 것일까요?

주어진 것: 다섯 반지름: $r = 1, 2, 3, 4, 5$; 점의 $x$ 좌표는 $C = 2\pi r$; 점의 $y$ 좌표는 $A = \pi r^2$; 선택지: (A) y 값 $2, 4, 7, 11, 16$ — 간격이 커짐; (B) y 값 $9, 6, 6, 9, 15$ — 내려갔다 올라감; (C) y 값 $2, 6, 8, 6, 2$ — 위로 볼록한 산 모양; (D) y 값 $2, 5, 8, 11, 14$ — 일직선; (E) y 값 $15, 10, 6, 3, 1$ — 계속 감소

구하는 것: 다섯 원의 실제 $(C, A)$ 값과 일치하는 산점도

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 정리된 표 만들기

이 문제의 핵심은 둘레가 일정한 속도로 늘어나는 동안 넓이는 어떻게 변하는지를 보는 것입니다. 그래서 도구 #5(패턴 찾기)가 딱 맞아요. 둘레는 반지름이 $1$ 늘 때마다 $2\pi$ 씩 같은 양으로 증가하지만, 넓이는 제곱의 차 $3, 5, 7, 9$ 만큼 점점 더 크게 증가합니다. 도구 #2(정리된 표 만들기)로 $C$ 와 $A$ 를 나란히 적어 두면 "$x$ 간격은 일정, $y$ 간격은 점점 커짐" 이라는 패턴이 한눈에 보이고, 그 패턴에 맞는 선택지는 단 하나입니다.

실행 — 정답: A

#2 정리된 표 만들기 7.G.B.4 단계 1

각 반지름에 대해 $C = 2\pi r$ 과 $A = \pi r^2$ 을 계산해 표로 정리합니다.
패턴이 잘 보이도록 $\pi$ 를 공통 인수로 남겨둡니다.

$r = 1:\ (C, A) = (2\pi,\ \pi)$;\ $r = 2:\ (4\pi,\ 4\pi)$;\ $r = 3:\ (6\pi,\ 9\pi)$;\ $r = 4:\ (8\pi,\ 16\pi)$;\ $r = 5:\ (10\pi,\ 25\pi)$

💡 7학년 원 공식을 그대로 대입하기. $C$ 는 $r$ 의 일차식, $A$ 는 $r$ 의 제곱($\pi$ 곱하기).

#5 패턴 찾기 6.RP.A.1 단계 2

$x$ 좌표를 봅니다.
$C$ 값 $2\pi, 4\pi, 6\pi, 8\pi, 10\pi$ 는 모두 $2\pi$ 씩 일정하게 늘어납니다.
따라서 다섯 점의 가로 위치는 같은 간격으로 배치되어야 합니다.

이웃한 점들 사이 $\Delta C = 2\pi$ $\Rightarrow$ 가로 간격 일정

💡 반지름이 두 배, 세 배가 되면 둘레도 두 배, 세 배가 됩니다. 일정한 보폭.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 3

$y$ 좌표를 봅니다.
$A$ 값 $\pi, 4\pi, 9\pi, 16\pi, 25\pi$ 는 제곱수들에 $\pi$ 를 곱한 것이고, 이웃한 값들의 차이는 $3\pi, 5\pi, 7\pi, 9\pi$ 로 점점 커집니다.
따라서 점들은 위로 올라가되, 올라가는 폭이 점점 더 커지는 모양이 됩니다.

$A$ 의 간격: $4\pi-\pi=3\pi,\ 9\pi-4\pi=5\pi,\ 16\pi-9\pi=7\pi,\ 25\pi-16\pi=9\pi$

💡 연속된 제곱수의 차는 홀수 $3, 5, 7, 9$ 입니다. 전형적으로 "점점 커지는" 패턴.

#5 패턴 찾기 8.F.A.3 단계 4

"$x$ 간격은 일정, $y$ 간격은 점점 커짐" 패턴을 선택지에 맞춰 봅니다.
(B), (C), (E) 는 $y$ 값이 단조 증가가 아니어서 탈락.
(D) 의 $y$ 간격은 $3, 3, 3, 3$ 으로 일정한데, 이는 $A$ 가 $C$ 의 일차식이라는 뜻 — 하지만 $A$ 는 $r^2$ 처럼 커지지 일차로 커지지 않습니다.
(A) 의 $y$ 간격은 $2, 3, 4, 5$ 로 점점 커지므로, 제곱 때문에 생기는 "위로 볼록(아래로 오목)" 모양과 정확히 맞습니다.

(A) $y$ 간격: $4-2=2,\ 7-4=3,\ 11-7=4,\ 16-11=5$ — 계속 증가 $\Rightarrow\textbf{(A)}$

💡 일차 그래프는 위로 가는 폭이 같고, 이차 그래프는 위로 가는 폭이 점점 커집니다. (A) 가 이차 모양.

[1] #2 7.G.B.4 각 반지름에 대해 $C = 2\pi r$ 과 $A = \pi r^2$ 을 계산해 표로 정리합니다. 패턴이 잘 보이도록 $\pi$ 를 공통 인수로

[2] #5 6.RP.A.1 $x$ 좌표를 봅니다. $C$ 값 $2\pi, 4\pi, 6\pi, 8\pi, 10\pi$ 는 모두 $2\pi$ 씩 일정하게 늘어납니다. 따라서

[3] #5 6.EE.A.1 $y$ 좌표를 봅니다. $A$ 값 $\pi, 4\pi, 9\pi, 16\pi, 25\pi$ 는 제곱수들에 $\pi$ 를 곱한 것이고, 이웃한 값

[4] #5 8.F.A.3 "$x$ 간격은 일정, $y$ 간격은 점점 커짐" 패턴을 선택지에 맞춰 봅니다. (B), (C), (E) 는 $y$ 값이 단조 증가가 아니어서

검토

합리성 확인: $\pi \approx 3.14$ 로 어림해서 확인합니다. 실제 $(C, A)$ 는 대략 $(6.3, 3.1),\ (12.6, 12.6),\ (18.8, 28.3),\ (25.1, 50.3),\ (31.4, 78.5)$. $A$ 값 $3.1, 12.6, 28.3, 50.3, 78.5$ 의 간격은 $9.5, 15.7, 22.0, 28.3$ 으로 점점 커집니다. 이건 (A) 의 위로 휘는 곡선 모양이지, (D) 의 직선 모양이 아니에요. 또한 $A = \dfrac{C^2}{4\pi}$ 이므로 $C$ 를 가로축으로 그린 $A$ 의 그래프는 원점에서 시작해 위로 열린 포물선입니다. 다섯 점이 그런 곡선 위에 놓이는 선택지는 (A) 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #10(관련 문제 찾기): $r = \dfrac{C}{2\pi}$ 를 $A = \pi r^2$ 에 대입하면 $A = \pi \cdot \dfrac{C^2}{4\pi^2} = \dfrac{C^2}{4\pi}$ 이 되어 $C$ 에 대한 포물선 식이 나옵니다. 원점을 지나고 위로 열리는 포물선은 오른쪽에서 "위로 볼록"하면서 계속 증가하는 모양 — 점마다 일일이 계산하지 않아도 곧바로 (A) 로 결정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 사용 (각 반지름 $r = 1, 2, 3, 4, 5$ 에 대해 $C = 2\pi r$ 과 $A = \pi r^2$ 을 계산하는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 ($C$ 가 $2\pi$ 씩 일정하게 늘어남을 알아채어 $x$ 좌표가 같은 간격임을 결론짓는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수식을 쓰고 계산하기 ($1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$ 을 계산해 $A$ 값 $\pi, 4\pi, 9\pi, 16\pi, 25\pi$ 를 얻는 데 사용.)
8.F.A.3 $y = mx + b$ 를 일차함수의 식으로 해석하고, 일차가 아닌 함수의 예 들기 ($A$ 의 이차 증가 패턴(간격 $3\pi, 5\pi, 7\pi, 9\pi$)을 일차 그래프의 일정한 간격과 구분해, 비일차인 (A) 를 정답으로 고르는 데 사용.)

⭐ 둘레 $C = 2\pi r$ 은 일정한 속도로 자라지만, 넓이 $A = \pi r^2$ 은 $3\pi, 5\pi, 7\pi, 9\pi$ 라는 홀수 간격으로 점점 더 빨리 자랍니다. 그래프가 위로 휘면서 가팔라지는 모양이 바로 (A) 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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