AMC 8 · 2003 · #7

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmeticset-partition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Blake and Jenny each took four $100$ -point tests. Blake averaged $78$ on the four tests. Jenny scored $10$ points higher than Blake on the first test, $10$ points lower than him on the second test, and $20$ points higher on both the third and fourth tests. What is the difference between Jenny's average and Blake's average on these four tests?

$\mathrm{(A)}\ 10 \qquad\mathrm{(B)}\ 15 \qquad\mathrm{(C)}\ 20 \qquad\mathrm{(D)}\ 25 \qquad\mathrm{(E)}\ 40$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 블레이크와 제니가 각각 $100$ 점짜리 시험을 네 번 봤어요. 블레이크의 네 시험 평균은 $78$. 제니는 블레이크보다 시험 $1$ 에서 $+10$, 시험 $2$ 에서 $-10$, 시험 $3, 4$ 에서 각각 $+20$ 점을 받았어요. 제니의 평균에서 블레이크의 평균을 뺀 값을 구하세요.

주어진 것: 각자 시험을 $4$ 번 본다; 블레이크의 $4$ 시험 평균은 $78$; (제니 점수) $-$ (블레이크 점수) $=$ 시험 $1$ 에서 $+10$, 시험 $2$ 에서 $-10$, 시험 $3$ 에서 $+20$, 시험 $4$ 에서 $+20$; 선택지: (A) $10$, (B) $15$, (C) $20$, (D) $25$, (E) $40$

구하는 것: $4$ 시험에서 제니의 평균과 블레이크의 평균의 차

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 평균 공식 거꾸로 풀기

문제는 두 평균의 차만 묻지 각자의 평균을 따로 구하라고 하지 않아요. 그래서 블레이크의 $78$ 은 결국 쓰이지 않습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계로 나눕니다 — (1) 시험별 점수 차이 네 개를 더해 총 차이를 구하고, (2) 그 총 차이를 시험 수 $4$ 로 나눠 평균의 차를 구합니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 평균 공식을 뒤집어 읽는 것입니다: 평균 $=$ 합계 $\div$ 개수이므로, 평균의 차 $=$ 합계의 차 $\div$ 개수.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.5 단계 1

하위 문제 1: 시험별 차이를 모읍니다.
$D_i = (\text{시험 } i \text{ 에서 제니 점수}) - (\text{시험 } i \text{ 에서 블레이크 점수})$ 로 두면, 문제 본문이 네 값을 그대로 알려줍니다.

$$D_1 = +10,\quad D_2 = -10,\quad D_3 = +20,\quad D_4 = +20$$

💡 6학년 "반대 방향의 양은 부호로 표현" 그대로: $+$ 는 제니가 더 높은 경우, $-$ 는 더 낮은 경우.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.6 단계 2

부호가 있는 네 차이를 더합니다.
시험 $1$ 의 $+10$ 과 시험 $2$ 의 $-10$ 이 서로 상쇄되어 두 개의 $+20$ 만 남아요.

$$D_1 + D_2 + D_3 + D_4 = 10 + (-10) + 20 + 20 = 40$$

💡 부호가 다른 정수의 덧셈은 6학년 단원입니다 — $+10$ 과 $-10$ 이 $0$ 으로 사라지고, $20 + 20 = 40$.

#11 평균 공식 거꾸로 풀기 6.SP.B.5 단계 3

하위 문제 2: 총 차이를 평균의 차로 바꿉니다.
$4$ 시험 합계로 보면 제니의 합 $-$ 블레이크의 합 $= 40$.
각 합을 $4$ 로 나누면 각각의 평균이 되므로, 합의 차를 $4$ 로 나누면 평균의 차가 됩니다.

$$\text{제니 평균} - \text{블레이크 평균} = \dfrac{\text{제니 합} - \text{블레이크 합}}{4} = \dfrac{40}{4}$$

💡 6학년 평균 공식을 뒤집은 모습입니다 — 시험 수가 같다면, 평균의 차이는 합의 차이를 그 시험 수만큼 축소한 값.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 4

나누어 마무리합니다.

$$\dfrac{40}{4} = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 블레이크의 $78$ 은 한 번도 쓰이지 않았다는 점에 주목해 보세요 — 평균의 차는 시험별 차이에만 달려 있어요.

[1] #7 6.NS.C.5 하위 문제 1: 시험별 차이를 모읍니다. $D_i = (\text{시험 } i \text{ 에서 제니 점수}) - (\text{시험 } i \t

[2] #7 6.NS.C.6 부호가 있는 네 차이를 더합니다. 시험 $1$ 의 $+10$ 과 시험 $2$ 의 $-10$ 이 서로 상쇄되어 두 개의 $+20$ 만 남아요.

[3] #11 6.SP.B.5 하위 문제 2: 총 차이를 평균의 차로 바꿉니다. $4$ 시험 합계로 보면 제니의 합 $-$ 블레이크의 합 $= 40$. 각 합을 $4$ 로 나

[4] #7 6.SP.B.5 나누어 마무리합니다.

검토

합리성 확인: 구체적인 점수로 점검해 봅니다. 블레이크가 네 번 모두 $78$ 점을 받았다고 가정하면 합계 $312$, 평균 $78$. 이때 제니의 점수는 $88, 68, 98, 98$ 로 합계 $352$, 평균 $88$. 평균의 차는 $88 - 78 = 10$ 으로 (A) 와 일치합니다. 함정 선택지는 흔한 실수에 대응돼요. (E) $40$ 은 총 차이에서 멈춰 $4$ 로 나누는 단계를 빠뜨린 경우, (C) $20$ 은 네 차이를 평균할 때 $D_2$ 의 음수 부호를 놓친 경우, (B) $15$ 와 (D) $25$ 는 패턴과 무관한 방해 선택지입니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 실제 점수는 잊고 부호가 붙은 네 차이의 평균만 구합니다. $\{+10, -10, +20, +20\}$ 의 평균은 $\dfrac{10 - 10 + 20 + 20}{4} = \dfrac{40}{4} = 10$. 같은 블레이크 점수를 제니 점수들에서 빼도 차이들의 평균은 바뀌지 않으므로, 이 "차이들의 평균" 이 곧 제니 평균 $-$ 블레이크 평균과 같아 답은 (A) 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.C.5 반대 방향의 양을 양수와 음수로 표현하기 (각 시험의 점수 차이를 부호 있는 정수($+10$, $-10$, $+20$, $+20$)로 적어 "더 높은" 과 "더 낮은" 을 한 합으로 묶는 데 사용.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 점으로 이해하고 유리수 체계로 확장하기 (부호 있는 네 차이의 합 $10 + (-10) + 20 + 20 = 40$ 을 계산할 때 $+10$ 과 $-10$ 의 상쇄를 사용.)
6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균 공식을 거꾸로 사용하여 평균의 차 $=$ (합의 차) $\div$ (시험 수) $= 40 \div 4 = 10$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 시험 수가 같은 두 평균의 차를 묻는 문제에서는 각자의 평균을 따로 구할 필요가 없어요. 시험별 차이를 모두 더한 뒤 시험 수로 나누면 됩니다 — 여기서는 $40 \div 4 = 10$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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