AMC 8 · 2004 · #12

학년 6 rate-ratio

ratefraction-arithmeticlinear-equations-one-var identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Niki usually leaves her cell phone on. If her cell phone is on but
she is not actually using it, the battery will last for $24$ hours. If
she is using it constantly, the battery will last for only $3$ hours.
Since the last recharge, her phone has been on $9$ hours, and during
that time she has used it for $60$ minutes. If she doesn’t use it any
more but leaves the phone on, how many more hours will the battery last?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 니키의 휴대폰은 켜져 있지만 사용하지 않을 때 배터리가 $24$ 시간, 계속 사용할 때는 $3$ 시간 만에 다 닳습니다. 마지막 충전 이후 휴대폰은 $9$ 시간 동안 켜져 있었고 그중 $60$ 분을 실제로 사용했습니다. 지금부터는 사용을 멈추고 켜두기만 한다면, 배터리는 몇 시간 더 갈까요?

주어진 것: 대기 상태(켜져 있지만 사용 안 함): 완충 배터리가 $24$ 시간 동안 지속; 사용 중: 완충 배터리가 $3$ 시간 동안 지속; 지금까지 켜져 있던 총 시간: $9$ 시간; 그중 실제 사용 시간: $60$ 분 $= 1$ 시간; 이후에는 더 이상 사용하지 않고 대기 상태만 유지; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $11$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: 지금부터 배터리가 더 지속될 시간 (시간 단위)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

지금까지 흐른 $9$ 시간 안에는 사실 두 가지가 섞여 있어요 — 실제 사용 $1$ 시간과 대기 $8$ 시간. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이 구간을 깔끔히 나누면 각 부분을 자기 소모율로 따로 다룰 수 있습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 그 소모율을 안전하게 쓰게 해 줍니다. "시간당 배터리" $\times$ "시간" $=$ "배터리" 이므로, 사용한 양과 남은 양 모두 같은 단위로 정리되니까요. 마지막에 남은 배터리를 대기 소모율로 나누면 "시간" 단위로 답이 떨어집니다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 1

단위를 정하고 두 소모율을 적습니다.
완충 배터리를 $1$ 이라 두면, 대기에서는 $24$ 시간 만에 $1$ 이 닳으므로 시간당 $\tfrac{1}{24}$.
사용 중에는 $3$ 시간 만에 $1$ 이 닳으므로 시간당 $\tfrac{1}{3}$.

$$r_{\text{대기}} = \tfrac{1}{24} \text{ 배터리/시간}, \quad r_{\text{사용}} = \tfrac{1}{3} \text{ 배터리/시간}$$

💡 배터리 전체를 $1$ 로 두면 "$N$ 시간 지속" 은 6학년 단위 비율 $\tfrac{1}{N}$ 으로 바뀝니다. 이제 두 비율을 평범한 분수처럼 더하거나 곱할 수 있어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.1 단계 2

지난 $9$ 시간을 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다.
$60$ 분을 $1$ 시간으로 바꾸면, 남은 $9 - 1 = 8$ 시간이 대기였습니다.

$$t_{\text{사용}} = 1 \text{ 시간}, \quad t_{\text{대기}} = 9 - 1 = 8 \text{ 시간}$$

💡 휴대폰은 한 순간에 두 상태일 수 없으므로 $9$ 시간은 "대기 시간 $+$ 사용 시간" 으로 갈라집니다. 그 전에 $60$ 분 $=$ $1$ 시간으로 맞추는 것은 4학년 단위 변환의 기본 습관입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 3

각 부분에서 소모된 배터리를 계산합니다.
대기: $8$ 시간 $\times \tfrac{1}{24}$, 사용: $1$ 시간 $\times \tfrac{1}{3}$.
단위 확인: $\text{시간} \times \tfrac{\text{배터리}}{\text{시간}} = \text{배터리}$.

$$\text{대기: } 8 \times \tfrac{1}{24} = \tfrac{8}{24} = \tfrac{1}{3} \text{ 배터리} \\ \text{사용: } 1 \times \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{3} \text{ 배터리}$$

💡 소모율 $\times$ 시간 $=$ 소모량은 6학년 비율 사용법 그대로입니다. "시간" 단위가 깔끔히 약분되어 "배터리" 만 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 4

두 양을 더해 총 소모량을 구하고, $1$ 에서 빼서 남은 배터리를 얻습니다.

$$\text{소모} = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3} \;\Rightarrow\; \text{잔량} = 1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3} \text{ 배터리}$$

💡 같은 분모의 분수 두 개를 더한 뒤 $1$ 에서 그 보수를 취하는 것은 5학년 분수 계산 그대로입니다.

#8 단위 살펴보기 6.NS.A.1 단계 5

마지막 작은 문제: 남은 $\tfrac{1}{3}$ 배터리가 대기 소모율 $\tfrac{1}{24}$ 배터리/시간으로 얼마나 갈까요?
잔량을 소모율로 나누면 단위가 "시간" 으로 떨어집니다.

$$t = \dfrac{1/3 \text{ 배터리}}{1/24 \text{ 배터리/시간}} = \tfrac{1}{3} \times 24 = 8 \text{ 시간} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\tfrac{\text{배터리}}{\text{배터리/시간}}$ 의 단위는 "시간" — 정확히 문제가 묻는 단위입니다. $\tfrac{1}{24}$ 로 나누는 것은 "역수를 곱한다" 는 6학년 방법으로 $\tfrac{1}{3} \times 24 = 8$.

[1] #8 6.RP.A.2 단위를 정하고 두 소모율을 적습니다. 완충 배터리를 $1$ 이라 두면, 대기에서는 $24$ 시간 만에 $1$ 이 닳으므로 시간당 $\tfrac{

[2] #7 4.MD.A.1 지난 $9$ 시간을 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다. $60$ 분을 $1$ 시간으로 바꾸면, 남은 $9 - 1 = 8$ 시간이 대기였습니다.

[3] #8 6.RP.A.3 각 부분에서 소모된 배터리를 계산합니다. 대기: $8$ 시간 $\times \tfrac{1}{24}$, 사용: $1$ 시간 $\times \tf

[4] #7 5.NF.A.1 두 양을 더해 총 소모량을 구하고, $1$ 에서 빼서 남은 배터리를 얻습니다.

[5] #8 6.NS.A.1 마지막 작은 문제: 남은 $\tfrac{1}{3}$ 배터리가 대기 소모율 $\tfrac{1}{24}$ 배터리/시간으로 얼마나 갈까요? 잔량을 소

검토

합리성 확인: 확인: 남은 배터리가 $\tfrac{1}{3}$ 이고, 완충 상태에서 대기로만 두면 $24$ 시간 지속되므로 $\tfrac{1}{3} \times 24 = 8$ 시간이 더 갑니다 — (B) 와 일치. 대략적으로도, $9$ 시간 동안 $\tfrac{2}{3}$ 을 썼으니 $\tfrac{1}{3}$ 만 남은 상태는 시간으로 보면 $9$ 의 절반쯤 가야 할 것 같은데, 남은 시간이 모두 대기(소모가 더 느림)이므로 $8$ 이라는 값은 자연스럽습니다. 큰 선택지 (D) $14$ 와 (E) $15$ 는 배터리를 절반도 안 썼다는 뜻인데, 사용 $1$ 시간만으로 이미 $\tfrac{1}{3}$ 이 빠지므로 너무 큽니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)로 풀면 한 줄 방정식입니다. 추가 대기 시간을 $t$ 라 하면, 사용한 배터리 $=$ 과거 대기 + 사용 + 미래 대기 $= 1$: $\tfrac{8}{24} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{t}{24} = 1$. 양변에 $24$ 를 곱하면 $8 + 8 + t = 24$, 따라서 $t = 8$. 같은 답 (B), 다만 작은 문제로 쪼개는 풀이보다 한 단계 더 추상화한 형태입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.1 측정 단위의 상대적 크기를 알고 큰 단위에서 작은 단위로 변환하기 ($60$ 분을 $1$ 시간으로 바꿔 사용 시간과 대기 시간을 같은 단위에서 더하기 위함.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}$ 로 총 소모량을 구하고, $1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}$ 로 남은 배터리를 구하는 데 사용.)
6.RP.A.2 비에 대응하는 단위 비율(unit rate)의 개념 이해하기 ("$24$ 시간 지속", "$3$ 시간 지속" 을 시간당 $\tfrac{1}{24}$, $\tfrac{1}{3}$ 배터리의 단위 비율로 읽어내는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율적 사고로 실생활 문제 해결하기 (소모율 $\times$ 시간으로 각 구간에서 사용된 배터리($8 \times \tfrac{1}{24}$, $1 \times \tfrac{1}{3}$)를 계산하는 데 사용.)
6.NS.A.1 분수를 분수로 나누기(실생활 문제 포함) (남은 배터리 $\tfrac{1}{3}$ 을 대기 소모율 $\tfrac{1}{24}$ 로 나눠 남은 시간을 얻는 데 사용: $\tfrac{1}{3} \div \tfrac{1}{24} = 8$.)

⭐ 두 가지 소모율이 섞인 문제는 상태별로 시간을 쪼개 각자 소모율로 따로 계산하고, 남은 양을 "지금 작동 중인" 소모율로 나누세요. 단위가 모든 단계를 안내해 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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