AMC 8 · 2004 · #19

학년 6 number-theory

lcmmodular-arithmeticdivisibility-rulesmultiples identify-subproblemsmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A whole number larger than $2$ leaves a remainder of $2$ when divided by each of the numbers $3, 4, 5,$ and $6$ . The smallest such number lies between which two numbers?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$40 ext{and} 49$

(B)

$60 ext{ and } 79$

(C)

$100 ext{and} 129$

(D)

$210 ext{and} 249$

(E)

$320 ext{and} 369$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3, 4, 5, 6$ 으로 각각 나누었을 때 나머지가 모두 $2$ 가 되는, $2$ 보다 큰 가장 작은 자연수 $N$ 을 찾고, 그 $N$ 이 보기 중 어느 구간에 들어가는지 고르세요.

주어진 것: $N$ 은 $N > 2$ 인 자연수; $N \div 3, \; N \div 4, \; N \div 5, \; N \div 6$ 의 나머지가 모두 $2$; $N$ 은 위 조건을 만족하는 가장 작은 수; 선택지: (A) $40$ 과 $49$, (B) $60$ 과 $79$, (C) $100$ 과 $129$, (D) $210$ 과 $249$, (E) $320$ 과 $369$

구하는 것: 조건을 만족하는 가장 작은 $N$, 그리고 $N$ 이 들어가는 구간

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기

네 개의 나머지 조건이 따로따로 있는 것 같지만, 도구 #5(패턴 찾기) 로 보면 모두 같은 형태입니다 — $N - 2$ 가 $3$ 의 배수, $4$ 의 배수, $5$ 의 배수, $6$ 의 배수라는 뜻이죠. 이렇게 다시 쓰면 네 조건이 하나로 묶입니다: $N - 2$ 는 $\{3, 4, 5, 6\}$ 의 공배수. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 작업이 깔끔하게 두 단계로 나뉩니다 — 먼저 가장 작은 공배수(네 수의 LCM) 를 구하고, 마지막에 $+2$ 만 더해 $N$ 을 복원하면 끝.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 1

공통 패턴을 찾습니다.
"$N$ 을 $d$ 로 나눈 나머지가 $2$" 라는 말은 $N - 2$ 가 $d$ 의 배수라는 뜻입니다.
네 개의 나눗셈에 같은 변환을 한꺼번에 적용합니다.

$$N - 2 \text{ 는 } 3, \; 4, \; 5, \; 6 \text{ 의 배수}$$

💡 4학년 "배수" 개념 그대로 — 나머지 $2$ 는 배수 $N - 2$ 를 $2$ 만큼 위로 민 결과입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

작은 문제 1: $N - 2$ 의 가장 작은 양의 값을 찾습니다.
$N - 2$ 는 네 수 모두의 배수, 즉 $\{3, 4, 5, 6\}$ 의 공배수이고, 그중 가장 작은 것이 최소공배수(LCM) 입니다.

$$N - 2 = \operatorname{lcm}(3, 4, 5, 6)$$

💡 도구 #7 로 일을 둘로 쪼갭니다 — $N - 2$ 부터 정한 뒤 $+2$ 는 나중에. 6학년 수론에서 가장 작은 공배수는 LCM 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 3

소인수분해로 LCM 을 계산합니다.
각 수를 소수의 곱으로 쓴 뒤, 각 소수의 가장 높은 차수를 골라 곱합니다.

$$3 = 3, \; 4 = 2^2, \; 5 = 5, \; 6 = 2 \cdot 3 \;\Rightarrow\; \operatorname{lcm} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

💡 $2$ 의 가장 높은 차수는 $2^2$ ($4$ 에서), $3$ 은 $3^1$ ($3$ 또는 $6$ 에서), $5$ 는 $5^1$ ($5$ 에서). 곱하면 $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

작은 문제 2: $+2$ 만큼 다시 더해 $N$ 을 복원하고, $N > 2$ 인지 확인합니다.

$$N = 60 + 2 = 62 \;\Rightarrow\; 60 < 62 < 79 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $62 > 2$ 성립, 그리고 $62$ 는 선택지 (B) 의 $60$-$79$ 구간 안에 들어갑니다.

[1] #5 4.OA.B.4 공통 패턴을 찾습니다. "$N$ 을 $d$ 로 나눈 나머지가 $2$" 라는 말은 $N - 2$ 가 $d$ 의 배수라는 뜻입니다. 네 개의 나눗셈

[2] #7 6.NS.B.4 작은 문제 1: $N - 2$ 의 가장 작은 양의 값을 찾습니다. $N - 2$ 는 네 수 모두의 배수, 즉 $\{3, 4, 5, 6\}$ 의

[3] #7 6.NS.B.4 소인수분해로 LCM 을 계산합니다. 각 수를 소수의 곱으로 쓴 뒤, 각 소수의 가장 높은 차수를 골라 곱합니다.

[4] #7 4.OA.A.3 작은 문제 2: $+2$ 만큼 다시 더해 $N$ 을 복원하고, $N > 2$ 인지 확인합니다.

검토

합리성 확인: 나머지를 직접 확인합니다: $62 = 3 \cdot 20 + 2$, $62 = 4 \cdot 15 + 2$, $62 = 5 \cdot 12 + 2$, $62 = 6 \cdot 10 + 2$. 네 경우 모두 나머지 $2$, 그리고 $62 > 2$. 다음 조건 만족 수는 $60 + 60 + 2 = 122$ 로 선택지 (C) 구간에 들어가므로 $62$ 가 정말 가장 작은 값입니다. (A) $40$-$49$ 는 LCM 보다 작아 불가능, (D)·(E) 는 너무 큽니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): $5$ 로 나눈 나머지가 $2$ 라면 $N$ 의 일의 자리는 $2$ 또는 $7$. 후보를 $7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, \ldots$ 로 적고, $N - 2$ 가 $4$ 의 배수인지로 거릅니다 — $N = 22, 42, 62, 82, \ldots$ 만 남음. 이제 $N - 2$ 가 $3$ 의 배수인지 확인: $22 - 2 = 20$ 아니오, $42 - 2 = 40$ 아니오, $62 - 2 = 60$ 예. ($6 \mid 60$ 은 $3 \mid 60$ 과 $2 \mid 60$ 에서 자동으로 따라옴.) 따라서 $N = 62$, 구간 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수쌍 모두 찾기와 배수 인식, 소수/합성수 판정 (각 나머지 조건을 배수 조건으로 다시 쓰는 데 사용: $N - 2$ 는 $3, 4, 5, 6$ 의 배수.)
6.NS.B.4 두 자연수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (소인수분해 $3, 2^2, 5, 2 \cdot 3$ 에서 각 소수의 최고 차수를 골라 $\operatorname{lcm}(3, 4, 5, 6) = 60$ 을 계산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결 (나머지 보정 $N = 60 + 2 = 62$ 를 계산하고 $62 > 2$ 가 $60$-$79$ 구간에 들어감을 확인하는 데 사용.)

⭐ 여러 나눗셈에서 같은 나머지가 나오면, 그 나머지를 먼저 빼고 보세요 — 남는 건 그냥 LCM 문제이고, 마지막에 나머지를 다시 더하면 답이 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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