AMC 8 · 2004 · #6

학년 6 arithmetic

percentagefraction-arithmeticlinear-equations-one-var identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-decimal-conversion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

After Sally takes $20$ shots, she has made $55\%$ of her shots. After she takes $5$ more shots, she raises her percentage to $56\%$ . How many of the last $5$ shots did she make?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 샐리는 처음 $20$ 번의 슛 중 $55\%$ 를 성공시켰습니다. $5$ 번을 더 던진 뒤 전체 성공률이 $56\%$ 로 올랐습니다. 마지막 $5$ 번 중 몇 개를 성공시켰을까요?

주어진 것: 처음 $20$ 번 슛 중 $55\%$ 성공; 추가로 $5$ 번을 더 던져 총 $25$ 번이 됨; 새로운 전체 성공률은 $56\%$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 마지막 $5$ 번 슛 중 성공한 개수

이해

계획

주요 도구: #3 방정식 세우기

보조 도구: #4 변수 도입하기

같은 사람의 두 시점 성공률을 연결하는 문제라서 도구 #3(방정식 세우기)이 가장 자연스럽습니다. 새로운 성공률을 "성공 수 / 시도 수" 분수로 쓰면, 분자와 분모 모두 마지막 $5$ 번 슛 결과에 의존합니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 미지의 성공 개수에 $x$ 라는 이름을 붙이면 퍼센트 한 문장이 일차방정식 하나가 되고, $x$ 만 분리하면 답이 바로 나옵니다.

실행 — 정답: C

#3 방정식 세우기 6.RP.A.3 단계 1

처음 $20$ 개 중 성공한 슛 수를 구합니다.
$20$ 의 $55\%$ 가 성공이라는 뜻입니다.

$$\text{처음 성공 수} = 0.55 \times 20 = 11$$

💡 어떤 수의 퍼센트를 구하는 것은 6학년 "퍼센트 $\times$ 전체" 그대로 — $20$ 의 $55\%$ 는 $11$.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

미지수를 둡니다.
마지막 $5$ 번 슛 중 성공 개수를 $x$ 라 하면, $25$ 번을 다 던진 후 총 성공 수는 $11 + x$, 총 시도 수는 $25$.

$$\text{총 성공 수} = 11 + x, \quad \text{총 시도 수} = 20 + 5 = 25$$

💡 모르는 개수 하나만 문자로 두면 나머지는 단순한 산수로 정리됩니다.

#3 방정식 세우기 6.EE.B.7 단계 3

"새 성공률이 $56\%$" 를 식으로 옮깁니다.
성공률은 총 성공 수를 총 시도 수로 나눈 값입니다.

$$\dfrac{11 + x}{25} = 0.56$$

💡 퍼센트 식은 결국 분수를 소수와 같다고 놓은 것 — 6학년 "$px = q$ 풀기" 범위입니다.

#3 방정식 세우기 6.EE.B.7 단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.
양변에 $25$ 를 곱한 뒤 $11$ 을 뺍니다.

$$11 + x = 0.56 \times 25 = 14 \;\Rightarrow\; x = 14 - 11 = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 분모를 없애면 퍼센트 방정식이 한 단계 뺄셈으로 줄어듭니다.

[1] #3 6.RP.A.3 처음 $20$ 개 중 성공한 슛 수를 구합니다. $20$ 의 $55\%$ 가 성공이라는 뜻입니다.

[2] #4 6.EE.A.2 미지수를 둡니다. 마지막 $5$ 번 슛 중 성공 개수를 $x$ 라 하면, $25$ 번을 다 던진 후 총 성공 수는 $11 + x$, 총 시도 수

[3] #3 6.EE.B.7 "새 성공률이 $56\%$" 를 식으로 옮깁니다. 성공률은 총 성공 수를 총 시도 수로 나눈 값입니다.

[4] #3 6.EE.B.7 $x$ 에 대해 풉니다. 양변에 $25$ 를 곱한 뒤 $11$ 을 뺍니다.

검토

합리성 확인: $x = 3$ 을 다시 대입해 봅시다. 총 성공 수는 $11 + 3 = 14$, 총 시도 수는 $25$ 이므로 $14 \div 25 = 0.56 = 56\%$, 문제 조건과 정확히 일치합니다. 또 답이 $0$ 부터 $5$ 사이 정수($3$)인 점도 맞아요 — 슛은 분수 개로 들어갈 수 없으니까요. 크기 감각으로도 확인됩니다. 전체 성공률이 $1\%$ 포인트만 올랐으니 마지막 $5$ 번 성공률이 기존 $55\%$ 보다 살짝 높아야 하는데, $3/5 = 60\%$ 라 딱 그만큼 위입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 마지막 $5$ 번 성공 개수는 $0$ 부터 $5$ 사이 정수여야 합니다. $25$ 번 후 $56\%$ 라면 총 성공 수가 $0.56 \times 25 = 14$ 여야 하고, 이미 $11$ 개를 성공했으니 더 필요한 성공은 $14 - 11 = 3$ 개. 방정식을 쓰지 않고 "필요한 총 성공 수" 를 먼저 구해도 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율을 활용해 실생활·수학 문제 풀기 (퍼센트 포함) ($20$ 의 $55\%$ 를 계산해 처음 $20$ 번 슛 중 $11$ 개를 성공했음을 구하는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (마지막 $5$ 번 중 성공 개수를 변수 $x$ 로 두어 식으로 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$, $px = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결하기 ($(11 + x)/25 = 0.56$ 을 세우고 한 단계씩 풀어 $x = 3$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 퍼센트 문제는 퍼센트를 분모·분자가 명확한 분수로 바꾸는 순간 쉬워져요. $25$ 번 슛의 $56\%$ 는 정확히 $14$ 개 성공이고, 샐리는 이미 $11$ 개를 넣었으니 마지막 $5$ 번에서 $14 - 11 = 3$ 개만 더 넣으면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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