AMC 8 · 2005 · #12
학년 6 arithmetic문제
Big Al, the ape, ate 100 bananas from May 1 through May 5. Each day he ate six more bananas than on the previous day. How many bananas did Big Al eat on May 5?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 유인원 빅 알은 5월 1일부터 5월 5일까지 닷새 동안 바나나 $100$ 개를 먹었습니다. 매일 전날보다 $6$ 개씩 더 먹었다고 할 때, 5월 5일에 먹은 바나나는 몇 개일까요?
주어진 것: 5월 1일, 5월 2일, 5월 3일, 5월 4일, 5월 5일 — 닷새; 매일 먹은 양은 전날보다 $6$ 개 많다; 닷새 동안 먹은 양의 합은 $100$ 개; 선택지: (A) $20$, (B) $22$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $34$
구하는 것: 5월 5일에 먹은 바나나의 개수
이해
문제 재정리: 유인원 빅 알은 5월 1일부터 5월 5일까지 닷새 동안 바나나 $100$ 개를 먹었습니다. 매일 전날보다 $6$ 개씩 더 먹었다고 할 때, 5월 5일에 먹은 바나나는 몇 개일까요?
주어진 것: 5월 1일, 5월 2일, 5월 3일, 5월 4일, 5월 5일 — 닷새; 매일 먹은 양은 전날보다 $6$ 개 많다; 닷새 동안 먹은 양의 합은 $100$ 개; 선택지: (A) $20$, (B) $22$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $34$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #11 변하지 않는 것 찾기
"매일 전날보다 $6$ 개씩 많다" 는 표현은 도구 #5 (패턴 찾기) 의 명백한 신호입니다 — 다섯 날의 개수가 $6$ 씩 일정하게 늘어나는 "고른 간격" 의 수열이 되니까요. 게다가 항이 다섯 개로 홀수일 때는 도구 #11 (변하지 않는 것 찾기) 가 강한 한 수를 줍니다 — 가운데 항 (5월 3일) 이 곧 다섯 항의 평균이 된다는 점이에요. 이 불변량 덕분에 총합 $100$ 이 곧장 가운데 날의 양이 되고, 5월 5일은 가운데에서 $+6$ 을 두 번 더하면 끝납니다. 도구 #5 와 #11 의 조합으로 도구 #13 (대수로 바꾸기) 없이 5–6학년 산수만으로 풀 수 있어요.
실행 — 정답: D
4.OA.C.5 단계 1 - 패턴을 나열합니다.
- 5월 1일의 개수를 시작으로 $+6$, $+6$, $+6$, $+6$ 을 차례로 더하면 5월 5일에 도달해요.
- 다섯 수가 모두 $6$ 씩 일정하게 늘어나는 "고른 간격" 수열입니다.
💡 주어진 규칙으로 수의 패턴을 적어 내려가는 4학년 "규칙에 따른 수열 만들기" 그대로입니다. 일정한 간격 $6$ 이 패턴의 전부예요.
6.SP.B.5 단계 2 - 불변량을 사용합니다.
- 항의 개수가 홀수인 "고른 간격" 수열에서는 가운데 항이 항상 전체의 평균과 같아요.
- 항이 다섯 개이니 가운데는 5월 3일, 따라서 5월 3일 $=$ (총합 $\div$ 날 수) $= 100 \div 5$.
💡 고른 간격 수열에서는 가운데보다 위쪽으로 한 칸 올라간 항과 아래쪽으로 한 칸 내려간 항이 짝을 이뤄 상쇄되므로, 가운데 항이 곧 평균이 됩니다 — 6학년 평균의 개념입니다.
5.NBT.B.5 단계 3 - 가운데에서 5월 5일까지 패턴을 따라 두 칸 더 갑니다.
- 5월 5일은 5월 3일에서 이틀 뒤이고 하루마다 $+6$ 이므로 5월 5일 $=$ 5월 3일 $+ 6 + 6$.
💡 $+6$ 을 두 번 더 더하는 것은 같은 패턴을 가운데에서 끝까지 계속 따라가는 것일 뿐입니다.
4.OA.C.5 패턴을 나열합니다. 5월 1일의 개수를 시작으로 $+6$, $+6$, $+6$, $+6$ 을 차례로 더하면 5월 5일에 도달해요. 다섯 수가 모 6.SP.B.5 불변량을 사용합니다. 항의 개수가 홀수인 "고른 간격" 수열에서는 가운데 항이 항상 전체의 평균과 같아요. 항이 다섯 개이니 가운데는 5월 3일 5.NBT.B.5 가운데에서 5월 5일까지 패턴을 따라 두 칸 더 갑니다. 5월 5일은 5월 3일에서 이틀 뒤이고 하루마다 $+6$ 이므로 5월 5일 $=$ 5월 검토
합리성 확인: 다섯 날의 목록을 총합과 맞춰 봅시다. 가운데에서 양쪽으로 펼치면 5월 1일 $= 20 - 12 = 8$, 5월 2일 $= 14$, 5월 3일 $= 20$, 5월 4일 $= 26$, 5월 5일 $= 32$. 합은 $8 + 14 + 20 + 26 + 32 = 100$ 으로 문제의 총합과 정확히 같습니다. 모든 수가 양의 정수이고 간격이 $6$ 으로 유지되며, 답 $32$ 는 선택지 (D) 와 일치해요. 크기 점검도 통과합니다 — 만약 빅 알이 매일 같은 양을 먹었다면 하루 $100 \div 5 = 20$ 개일 텐데, 5월 5일은 가장 많이 먹은 날이므로 $20$ 보다 커야 합니다. 선택지 중 $22$ 는 너무 작고 (간격이 안 맞음), $30$ 은 합이 $90$, $34$ 는 합이 $110$ 이라 답이 아니며, $32$ 만 유일하게 맞습니다.
대안 접근: 도구 #6 (시도와 점검): 선택지를 직접 대입해 봅니다. 5월 5일 $= 32$ (선택지 D) 로 두면 5월 4일 $= 26$, 5월 3일 $= 20$, 5월 2일 $= 14$, 5월 1일 $= 8$ 이고 합은 $8 + 14 + 20 + 26 + 32 = 100$ — 일치합니다. 5월 5일 $= 30$ (C) 으로 두면 $6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 90 \ne 100$, 5월 5일 $= 34$ (E) 로 두면 $10 + 16 + 22 + 28 + 34 = 110 \ne 100$. (D) 만 통과합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수의 패턴 만들기 (다섯 날의 바나나 개수를 간격이 $6$ 인 고른 간격 수열로 나열하는 데 사용.)6.SP.B.5관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (고른 간격 수열에서 가운데 항이 전체의 평균과 같다는 사실로 5월 3일 $= 100 \div 5 = 20$ 을 얻는 데 사용.)5.NBT.B.5표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수 곱셈 능숙하게 하기 (5월 3일의 양에 $+6$ 을 두 번 더해 5월 5일 $= 32$ 개를 얻는 데 사용.)
⭐ 매일 $6$ 개씩 늘어나는 다섯 날의 양은 고른 간격 수열이고, 가운데 날인 5월 3일은 자동으로 평균 $100 \div 5 = 20$ 이 됩니다. 거기서 $+6$ 을 두 번만 더 따라가면 5월 5일은 $32$ — 이 "가운데가 곧 평균" 한 가지 아이디어가 AMC 8 문제를 6학년 평균 문제로 줄여 줍니다.
⭐ 매일 $6$ 개씩 늘어나는 다섯 날의 양은 고른 간격 수열이고, 가운데 날인 5월 3일은 자동으로 평균 $100 \div 5 = 20$ 이 됩니다. 거기서 $+6$ 을 두 번만 더 따라가면 5월 5일은 $32$ — 이 "가운데가 곧 평균" 한 가지 아이디어가 AMC 8 문제를 6학년 평균 문제로 줄여 줍니다.