AMC 8 · 2005 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-circlesarea-trianglesisosceles-trianglereflection-symmetry identify-subproblemsreflection-unfolding ↑ 선수 지식: area-circlesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

Isosceles right triangle $ABC$ encloses a semicircle of area $2\pi$ . The circle has its center $O$ on hypotenuse $\overline{AB}$ and is tangent to sides $\overline{AC}$ and $\overline{BC}$ . What is the area of triangle $ABC$ ?

Solution

First, we notice half a square so first let's create a square. Once we have a square, we will have a full circle. This circle has a diameter of 4 which will be the side of the square. The area would be $4\cdot 4 = 16.$ Divide 16 by 2 to get the original shape and you get $\boxed{8}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$3\pi$

(D)

(E)

$4\pi$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각이 $C$ 에 있는 이등변 직각삼각형 $ABC$ 안에 넓이가 $2\pi$ 인 반원이 들어 있어요. 반원의 중심 $O$ 는 빗변 $\overline{AB}$ 위에 있고, 반원은 두 다리 $\overline{AC}$ 와 $\overline{BC}$ 에 접합니다. $\triangle ABC$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $\triangle ABC$ 는 $C$ 에서 직각인 이등변 직각삼각형, 즉 $\angle A = \angle B = 45^\circ$ 이고 $AC = BC$; 넓이가 $2\pi$ 인 반원이 삼각형 안에 놓여 있다; 반원의 중심 $O$ 는 빗변 $\overline{AB}$ 위에 있다; 반원은 두 다리 $\overline{AC}$ 와 $\overline{BC}$ 에 모두 접한다; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $3\pi$, (D) $10$, (E) $4\pi$

구하는 것: $\triangle ABC$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #13 대칭 이용하기

그림에는 이미 삼각형과 반원이 있어요. 빠진 한 가지는 중심 $O$ 에서 $\overline{AC}$, $\overline{BC}$ 위 접점까지 그은 두 반지름입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 이 두 반지름을 더 그리는 것 — 각각 다리에 수직이라, $C$ 의 직각과 합쳐져 삼각형 안에 작은 정사각형이 만들어집니다. 그 정사각형이 보이면, 넓이 $2\pi$ 로 구한 반지름과 $A$ 모퉁이의 $45$-$45$-$90$ 삼각형으로 다리 길이가 나옵니다. 도구 #13(대칭 이용하기)은 또 다른 시각: 삼각형을 빗변 $\overline{AB}$ 에 대해 대칭시키면 반원이 정사각형 안에 내접한 원이 됩니다. 삼각형은 그 정사각형의 절반이므로, 넓이도 정사각형의 절반.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

반원의 넓이에서 반지름을 구합니다.
반지름 $r$ 인 반원의 넓이는 원 전체의 절반이므로 $\tfrac{1}{2}\pi r^2 = 2\pi$.
양변에 $2$ 를 곱해 분수를 정리한 뒤 $\pi$ 로 나눕니다.

$$\tfrac{1}{2}\pi r^2 = 2\pi \;\Rightarrow\; \pi r^2 = 4\pi \;\Rightarrow\; r^2 = 4 \;\Rightarrow\; r = 2$$

💡 7학년 "원의 넓이" 공식을 거꾸로 쓴 것. 넓이가 주어졌을 때 반지름을 구하는 식이고, 반원은 원의 절반이라 앞에 $\tfrac{1}{2}$ 가 붙어 있을 뿐입니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.5 단계 2

그림에 반지름 두 개를 더합니다.
반원이 다리 $\overline{AC}$ 와 만나는 점을 $D$, 다리 $\overline{BC}$ 와 만나는 점을 $E$ 라 하고 $\overline{OD}$, $\overline{OE}$ 를 그립니다.
각 반지름은 접하는 다리에 수직이므로 $\angle ODC = \angle OEC = 90^\circ$.
거기에 삼각형의 직각 $\angle DCE = 90^\circ$ 가 더해져, 사각형 $ODCE$ 는 세 각이 직각이고, 따라서 네 번째 각도 $90^\circ$.
$OD$ 와 $OE$ 는 둘 다 반지름이라 길이가 같으니, $ODCE$ 는 한 변이 $r = 2$ 인 정사각형입니다.
특히 $CD = CE = 2$.

$$OD = OE = 2, \quad \angle ODC = \angle OEC = \angle DCE = 90^\circ \;\Rightarrow\; ODCE \text{ 는 정사각형}; \quad CD = CE = 2$$

💡 접점에 반지름을 그어 "접선 $\perp$ 반지름" 을 쓰는 것은 7학년의 표준 동작. 사각형 안 직각 세 개가 네 번째 직각을 강제하고, 두 변이 같으니 직사각형이 정사각형으로 올라갑니다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 3

$A$ 모퉁이의 $45$-$45$-$90$ 삼각형으로 $AD$ 를 구합니다.
$\triangle ADO$ 에서 $\angle ODA = 90^\circ$ (반지름이 다리에 수직), $\angle DAO = 45^\circ$ (이등변 직각삼각형의 밑각).
남은 한 각 $\angle AOD$ 도 $45^\circ$, 따라서 $\triangle ADO$ 는 두 다리가 $AD$ 와 $OD$ 인 $45$-$45$-$90$ 이등변 직각삼각형.
두 다리는 같으니 $AD = OD = 2$.

$$\angle ODA = 90^\circ, \;\angle DAO = 45^\circ \;\Rightarrow\; \triangle ADO \text{ 는 } 45\text{-}45\text{-}90 \;\Rightarrow\; AD = OD = 2$$

💡 8학년 "삼각형 세 각의 합". 주어진 두 각이 세 번째 각을 결정해 작은 삼각형이 이등변이 되고, 두 다리 $AD = OD$ 가 따라옵니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 4

다리 길이를 모아 넓이를 계산합니다.
다리 $AC$ 는 $AC = AD + DC = 2 + 2 = 4$ 로 쪼개집니다.
삼각형이 다리 $AC$, $BC$ 에 대해 이등변이므로 $BC = 4$.
두 다리는 직각 $C$ 에서 만나므로 직각삼각형의 밑변과 높이가 되고, 넓이는 그 곱의 절반입니다.

$$AC = 2 + 2 = 4 = BC; \quad [\triangle ABC] = \tfrac{1}{2}\cdot AC \cdot BC = \tfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 6학년 "직각삼각형의 넓이는 두 다리 곱의 절반". 두 다리가 정해지면, 곱하고 반으로 나누면 끝.

[1] #1 7.G.B.4 반원의 넓이에서 반지름을 구합니다. 반지름 $r$ 인 반원의 넓이는 원 전체의 절반이므로 $\tfrac{1}{2}\pi r^2 = 2\pi$.

[2] #1 7.G.B.5 그림에 반지름 두 개를 더합니다. 반원이 다리 $\overline{AC}$ 와 만나는 점을 $D$, 다리 $\overline{BC}$ 와 만나는

[3] #1 8.G.A.5 $A$ 모퉁이의 $45$-$45$-$90$ 삼각형으로 $AD$ 를 구합니다. $\triangle ADO$ 에서 $\angle ODA = 90^\

[4] #1 6.G.A.1 다리 길이를 모아 넓이를 계산합니다. 다리 $AC$ 는 $AC = AD + DC = 2 + 2 = 4$ 로 쪼개집니다. 삼각형이 다리 $AC$,

검토

합리성 확인: 크기를 점검해 봅시다. 반원의 넓이는 $2\pi \approx 6.28$ 이고 삼각형 안에 들어가 있으므로, 삼각형의 넓이는 $6.28$ 보다 커야 합니다. 이걸로 (A) $6$ 은 제외. (B) $8$ 은 $6.28$ 보다 살짝 큰 값이라 그림과 잘 맞아요 — 반원이 삼각형의 거의 다 채우고 $A$, $B$ 근처에 작은 모퉁이만 남기죠. (D) $10$ 과 (E) $4\pi \approx 12.57$ 은 빈 공간이 너무 많고, (C) $3\pi \approx 9.42$ 는 반원의 넓이가 사라진 뒤에 $\pi$ 가 다시 등장할 이유가 없어요. 직접 확인: 다리 $4$ 일 때 다리 위 접점까지의 거리는 $AD = 2$, 반지름 $OD = 2$, 직각삼각형 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 = 8$ — 답 (B) 와 정확히 일치합니다.

대안 접근: 도구 #13(대칭 이용하기): $\triangle ABC$ 를 빗변 $\overline{AB}$ 에 대해 대칭시킵니다. 반원의 평평한 면은 $\overline{AB}$ 위에 있어서, 대칭시킨 반쪽이 합쳐져 원 전체가 됩니다. 원래 삼각형과 대칭 삼각형이 만든 도형은 한 변이 다리 $AC$ 인 정사각형이고, 그 안에 내접한 원의 지름은 한 변과 같아요. 반지름은 $r = 2$ 이므로 정사각형의 한 변은 $2r = 4$, 넓이는 $16$. 삼각형은 그 정사각형의 절반이므로 넓이는 $8$ — 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 직각삼각형, 일반 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이 구하기 (두 다리가 정해진 뒤 $\triangle ABC$ 의 넓이를 두 다리 곱의 절반으로 계산하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식을 알고 문제 해결에 활용 (주어진 반원 넓이로부터 $\tfrac{1}{2}\pi r^2 = 2\pi$ 를 풀어 반지름 $r = 2$ 를 구하는 데 사용.)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각·인접각의 성질로 미지의 각 구하기 (반지름과 접하는 다리가 만나는 직각(과 $C$ 의 직각)을 이용해 $ODCE$ 가 한 변이 $2$ 인 정사각형임을 확인하는 데 사용.)
8.G.A.5 각의 합 및 외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 설명 ($\angle ODA = 90^\circ$ 와 $\angle DAO = 45^\circ$ 를 합쳐 $\triangle ADO$ 가 $45$-$45$-$90$ 임을 도출하고 $AD = OD = 2$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 원이 직선에 접해 있을 때 첫 동작은 거의 항상 접점까지 반지름을 그어보는 거예요. 여기서는 반지름 둘이 삼각형 안에 정사각형을 만들고, $45$-$45$-$90$ 모퉁이가 다리의 나머지 길이를 채워 — 다리 $4$, 넓이 $8$ 이 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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