AMC 8 · 2006 · #12
학년 6 rate-ratio문제
Antonette gets on a 10-problem test, on a 20-problem test and on a 30-problem test. If the three tests are combined into one 60-problem test, which percent is closest to her overall score?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 앙토네트(Antonette)는 $10$ 문제짜리 시험에서 $70\%$, $20$ 문제짜리 시험에서 $80\%$, $30$ 문제짜리 시험에서 $90\%$ 를 받았습니다. 세 시험을 합쳐 $60$ 문제짜리 한 시험으로 보면 전체 점수에 가장 가까운 선택지는 무엇인가요?
주어진 것: 시험 1: $10$ 문제 중 $70\%$ 정답; 시험 2: $20$ 문제 중 $80\%$ 정답; 시험 3: $30$ 문제 중 $90\%$ 정답; 합친 시험의 총 문제 수: $10 + 20 + 30 = 60$; 선택지: (A) $40$, (B) $77$, (C) $80$, (D) $83$, (E) $87$
구하는 것: $60$ 문제짜리 합친 시험에서 앙토네트의 전체 점수에 가장 가까운 백분율
이해
문제 재정리: 앙토네트(Antonette)는 $10$ 문제짜리 시험에서 $70\%$, $20$ 문제짜리 시험에서 $80\%$, $30$ 문제짜리 시험에서 $90\%$ 를 받았습니다. 세 시험을 합쳐 $60$ 문제짜리 한 시험으로 보면 전체 점수에 가장 가까운 선택지는 무엇인가요?
주어진 것: 시험 1: $10$ 문제 중 $70\%$ 정답; 시험 2: $20$ 문제 중 $80\%$ 정답; 시험 3: $30$ 문제 중 $90\%$ 정답; 합친 시험의 총 문제 수: $10 + 20 + 30 = 60$; 선택지: (A) $40$, (B) $77$, (C) $80$, (D) $83$, (E) $87$
계획
주요 도구: #2 체계적으로 나열하기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 바꾸기
함정은 $70, 80, 90$ 을 그냥 평균 내 $80$ (선택지 C) 으로 가는 길입니다. 그러면 시험 크기가 모두 무시됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)로 문제를 바꿔 봅시다 — 백분율을 섞는 대신 각 시험에서 실제로 맞힌 문제 수를 세면, 더할 수 있는 구체적인 자연수만 남습니다. 그다음 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 세 시험을 차례대로 정리해 맞힌 수와 총 문제 수를 적으면, 합친 점수는 두 합을 나누는 한 줄로 끝납니다. 대수는 필요 없습니다.
실행 — 정답: D
6.RP.A.3 단계 1 - 각 백분율을 맞힌 문제 수로 바꿉니다.
- 각 시험에서 (소수로 바꾼) 백분율에 문제 수를 곱하면 됩니다.
- 이렇게 하면 "백분율 섞기" 라는 까다로운 문제가 "수를 세서 더하기" 라는 깔끔한 문제로 바뀝니다.
💡 "전체에 대한 비율로서의 백분율" 은 6학년 표준입니다. "$10$ 의 $70\%$" 를 $7$ 로 읽는 바로 그 사고법입니다.
5.NBT.B.5 단계 2 - 합계를 작은 표로 정리합니다.
- 세 시험의 맞힌 수를 더해 합친 시험의 총 정답 수를, 문제 수를 더해 합친 시험의 총 문제 수를 구합니다.
💡 백분율이 사라지고 나면 남는 건 자연수 덧셈뿐 — 5학년 연산 표준 그대로입니다.
6.RP.A.1 단계 3 - 전체 점수를 비로 쓰고 약분합니다.
- 합친 시험의 점수는 총 정답 수를 총 문제 수로 나눈 값을 백분율로 표현한 것입니다.
💡 $\dfrac{50}{60}$ 과 $\dfrac{5}{6}$ 는 묶음 크기만 다를 뿐 같은 비입니다 — 6학년 비의 개념 그대로.
6.RP.A.3 단계 4 - $\dfrac{5}{6}$ 을 백분율로 바꾸고 가장 가까운 선택지를 고릅니다.
- $5$ 를 $6$ 으로 나누면 됩니다.
💡 $83.33\%$ 는 $83\%$ 에 가장 가까워서 (D). $70, 80, 90$ 을 단순 평균한 (C) $80\%$ 가 바로 그 함정입니다.
6.RP.A.3 각 백분율을 맞힌 문제 수로 바꿉니다. 각 시험에서 (소수로 바꾼) 백분율에 문제 수를 곱하면 됩니다. 이렇게 하면 "백분율 섞기" 라는 까다로 5.NBT.B.5 합계를 작은 표로 정리합니다. 세 시험의 맞힌 수를 더해 합친 시험의 총 정답 수를, 문제 수를 더해 합친 시험의 총 문제 수를 구합니다. 6.RP.A.1 전체 점수를 비로 쓰고 약분합니다. 합친 시험의 점수는 총 정답 수를 총 문제 수로 나눈 값을 백분율로 표현한 것입니다. 6.RP.A.3 $\dfrac{5}{6}$ 을 백분율로 바꾸고 가장 가까운 선택지를 고릅니다. $5$ 를 $6$ 으로 나누면 됩니다. 검토
합리성 확인: 더 큰 시험들($20$ 문제, $30$ 문제 짜리)이 $70\%$ 보다 더 높은 점수를 받았고, 가장 큰 $30$ 문제 시험이 가장 높은 $90\%$ 입니다. 그러니 전체 평균은 $90\%$ 쪽으로 끌려가야 하고, 단순 평균 $80\%$ 보다는 위로 올라옵니다. 우리 답 $83.3\%$ 는 $80\%$ 와 $90\%$ 사이에 있고 $80\%$ 에 더 가까운데, $30$ 문제 시험이 전체 $60$ 문제의 절반에 불과하기 때문이니 말이 됩니다. (D) $83$ 이 맞고, (E) $87$ 은 $90\%$ 시험이 실제보다 더 큰 비중을 차지해야 나오는 값입니다.
대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기): 세 시험의 크기 비가 $1 : 2 : 3$ 이므로 각 백분율에도 그 비를 곱해 가중평균을 냅니다. 전체 백분율 $= \dfrac{1 \cdot 70 + 2 \cdot 80 + 3 \cdot 90}{1 + 2 + 3} = \dfrac{70 + 160 + 270}{6} = \dfrac{500}{6} \approx 83.3\%$. 답은 같은 (D) — 수를 직접 세는 대신 가중평균으로 풀어도 됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3백분율을 100당 비율로 이해하고 활용하기; 부분과 백분율로부터 전체 구하기 ("$10$ 의 $70\%$", "$20$ 의 $80\%$", "$30$ 의 $90\%$" 를 각각 $7$, $16$, $27$ 로 읽고, 마지막에 $\dfrac{5}{6}$ 을 다시 $83.\overline{3}\%$ 로 바꾸는 데 사용.)5.NBT.B.5여러 자리 자연수의 곱셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행하기 ($7 + 16 + 27 = 50$ 과 $10 + 20 + 30 = 60$ — 백분율이 사라진 뒤 남는 기본 자연수 연산.)6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 (합친 점수를 $\dfrac{50}{60}$ 라는 비로 쓰고 $\dfrac{5}{6}$ 로 약분한 뒤 백분율로 옮기는 데 사용.)
⭐ 시험들의 문제 수가 다를 때는 백분율을 그냥 평균 내면 안 됩니다. 각 백분율을 맞힌 문제 수로 바꿔서 모두 더하고, 전체 문제 수로 나누면 진짜 백분율이 나옵니다.
⭐ 시험들의 문제 수가 다를 때는 백분율을 그냥 평균 내면 안 됩니다. 각 백분율을 맞힌 문제 수로 바꿔서 모두 더하고, 전체 문제 수로 나누면 진짜 백분율이 나옵니다.