AMC 8 · 2006 · #14
학년 6 rate-ratio문제
Problems 14, 15 and 16 involve Mrs. Reed's English assignment.
A Novel Assignment
The students in Mrs. Reed's English class are reading the same -page novel. Three friends, Alice, Bob and Chandra, are in the class. Alice reads a page in 20 seconds, Bob reads a page in seconds and Chandra reads a page in seconds.
If Bob and Chandra both read the whole book, Bob will spend how many more seconds reading than Chandra?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $760$ 쪽짜리 소설을 밥(Bob)과 챈드라(Chandra)가 각각 처음부터 끝까지 읽습니다. 밥은 한 쪽에 $45$ 초, 챈드라는 한 쪽에 $30$ 초가 걸립니다. 밥이 챈드라보다 책을 읽는 데 몇 초를 더 쓰는지 구하세요.
주어진 것: 책은 $760$ 쪽이다; 밥(Bob)은 한 쪽을 $45$ 초에 읽는다; 챈드라(Chandra)는 한 쪽을 $30$ 초에 읽는다; 선택지: (A) $7{,}600$, (B) $11{,}400$, (C) $12{,}500$, (D) $15{,}200$, (E) $22{,}800$
구하는 것: 밥의 총 독서 시간에서 챈드라의 총 독서 시간을 뺀 값 (초)
이해
문제 재정리: $760$ 쪽짜리 소설을 밥(Bob)과 챈드라(Chandra)가 각각 처음부터 끝까지 읽습니다. 밥은 한 쪽에 $45$ 초, 챈드라는 한 쪽에 $30$ 초가 걸립니다. 밥이 챈드라보다 책을 읽는 데 몇 초를 더 쓰는지 구하세요.
주어진 것: 책은 $760$ 쪽이다; 밥(Bob)은 한 쪽을 $45$ 초에 읽는다; 챈드라(Chandra)는 한 쪽을 $30$ 초에 읽는다; 선택지: (A) $7{,}600$, (B) $11{,}400$, (C) $12{,}500$, (D) $15{,}200$, (E) $22{,}800$
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
전형적인 비율 문제이므로 도구 #8(단위 살펴보기)이 출발점입니다. 쪽수 $\times$ (초 $/$ 쪽) 에서 "쪽" 단위가 약분되어 "초" 만 남고, 이는 문제에서 묻는 단위와 정확히 일치합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로는 "밥의 총 시간" 과 "챈드라의 총 시간" 이라는 두 부분문제로 나누고, 그 차이를 구하면 끝입니다. 두 곱셈이 $760$ 이라는 공통 인수를 갖는다는 점은 분배법칙 $760 \cdot 45 - 760 \cdot 30 = 760(45-30)$ 으로 자연스럽게 정리되므로 별도의 대수 도구가 필요 없습니다.
실행 — 정답: B
6.RP.A.3 단계 1 - 단위를 추적해서 각자의 총 시간 식을 세웁니다.
- "쪽" $\times$ "쪽당 초" 를 곱하면 "쪽" 단위가 약분되고 "초" 만 남아 문제가 묻는 단위와 같아집니다.
💡 6학년 단위 비율 사고: "쪽" 단위가 사라지고 "초" 만 남으므로 식의 단위가 묻는 단위와 일치합니다.
5.NBT.B.5 단계 2 - 전체 문제를 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다.
- 작은 문제 1: 밥의 총 시간은 얼마인가?
- 작은 문제 2: 챈드라의 총 시간은 얼마인가?
- 최종 답은 "1 - 2" 입니다.
💡 두 작은 문제를 따로 적어 두면 공통 인수 $760$ 이 한눈에 드러나고, 다음 단계에서 이걸 그대로 활용하게 됩니다.
5.OA.A.1 단계 3 - 두 시간을 뺍니다.
- 두 곱셈이 $760$ 을 공통으로 가지므로 분배법칙으로 묶어 빼면 됩니다.
- 큰 두 곱셈을 따로 계산할 필요가 없어집니다.
💡 분배법칙은 $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$ 형태로, 공통 인수를 묶으면 곱셈 두 번이 한 번으로 줄어듭니다.
5.NBT.B.5 단계 4 - 산수를 마무리합니다.
- $760 \times 15 = 760 \times 10 + 760 \times 5 = 7600 + 3800 = 11{,}400$.
- 선택지와 맞춰 보면 (B) 입니다.
💡 $15 = 10 + 5$ 로 쪼개 곱하는 것은 5학년 "부분 곱셈" 전략으로, 암산하기에 편합니다.
6.RP.A.3 단위를 추적해서 각자의 총 시간 식을 세웁니다. "쪽" $\times$ "쪽당 초" 를 곱하면 "쪽" 단위가 약분되고 "초" 만 남아 문제가 묻 5.NBT.B.5 전체 문제를 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다. 작은 문제 1: 밥의 총 시간은 얼마인가? 작은 문제 2: 챈드라의 총 시간은 얼마인가? 최종 답은 5.OA.A.1 두 시간을 뺍니다. 두 곱셈이 $760$ 을 공통으로 가지므로 분배법칙으로 묶어 빼면 됩니다. 큰 두 곱셈을 따로 계산할 필요가 없어집니다. 5.NBT.B.5 산수를 마무리합니다. $760 \times 15 = 760 \times 10 + 760 \times 5 = 7600 + 3800 = 11{,}4 검토
합리성 확인: 크기 감을 확인해 봅시다. 밥이 한 쪽마다 $15$ 초 늦으니, $760$ 쪽이면 총 차이는 대략 $760 \times 15 \approx 11{,}000$ 초가 되어야 합니다. 정확한 값 $11{,}400$ 과 잘 맞습니다. 밥의 총 시간은 $760 \times 45 = 34{,}200$ 초, 챈드라의 총 시간은 $760 \times 30 = 22{,}800$ 초이고 그 차는 $34{,}200 - 22{,}800 = 11{,}400$ 초로, 묶어서 계산한 결과와 일치합니다. 단위도 문제가 요구한 "초" 그대로입니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 쪽수를 $p = 760$, 쪽당 속도를 각각 $b = 45$, $c = 30$ 이라 하면 구하는 차는 $pb - pc = p(b - c) = 760(45 - 30) = 760 \cdot 15 = 11{,}400$. 대수로 쓰면 공통 인수 구조가 한 줄로 드러나지만, 위의 산술 풀이도 문자 없이 같은 곳에 도착합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 ("쪽당 $45$ 초", "쪽당 $30$ 초" 를 단위 비율로 읽고 $760$ 쪽을 곱해 각자의 총 시간을 초 단위로 구하는 데 사용.)5.NBT.B.5표준 알고리즘으로 여러 자릿수 자연수 곱셈 능숙하게 수행하기 ($15$ 를 $10 + 5$ 로 쪼개 $760 \times 15 = 7600 + 3800 = 11{,}400$ 을 계산하는 데 사용.)5.OA.A.1괄호 등을 사용해 수식을 쓰고 계산하기 ($760 \times 45 - 760 \times 30$ 을 분배법칙으로 $760 \times (45 - 30)$ 으로 다시 쓰고 괄호 안 뺄셈을 먼저 처리하는 데 사용.)
⭐ 두 곱셈이 $760$ 같은 공통 인수를 가지면 먼저 묶어 내세요: $760 \times 45 - 760 \times 30 = 760 \times 15$. 어려워 보이던 뺄셈이 곱셈 한 번으로 끝납니다.
⭐ 두 곱셈이 $760$ 같은 공통 인수를 가지면 먼저 묶어 내세요: $760 \times 45 - 760 \times 30 = 760 \times 15$. 어려워 보이던 뺄셈이 곱셈 한 번으로 끝납니다.