AMC 8 · 2006 · #15
학년 6 rate-ratio문제
Problems 14, 15 and 16 involve Mrs. Reed's English assignment.
A Novel Assignment
The students in Mrs. Reed's English class are reading the same 760-page novel. Three friends, Alice, Bob and Chandra, are in the class. Alice reads a page in 20 seconds, Bob reads a page in 45 seconds and Chandra reads a page in 30 seconds.
Chandra and Bob, who each have a copy of the book, decide that they can save time by "team reading" the novel. In this scheme, Chandra will read from page 1 to a certain page and Bob will read from the next page through page 760, finishing the book. When they are through they will tell each other about the part they read. What is the last page that Chandra should read so that she and Bob spend the same amount of time reading the novel?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 찬드라와 밥이 $760$ 쪽짜리 소설을 나누어 읽기로 합니다. 두 사람이 책 읽는 데 쓴 시간이 같도록, 찬드라는 $1$ 쪽부터 $x$ 쪽까지 한 쪽에 $30$ 초씩 읽고, 밥은 $x+1$ 쪽부터 $760$ 쪽까지 한 쪽에 $45$ 초씩 읽습니다. 찬드라가 마지막으로 읽는 쪽 번호 $x$ 를 구하세요.
주어진 것: 총 쪽수: $760$; 찬드라의 속도: 한 쪽에 $30$ 초; 밥의 속도: 한 쪽에 $45$ 초; 찬드라는 $1$ 쪽 ~ $x$ 쪽, 즉 $x$ 쪽을 읽음; 밥은 $x+1$ 쪽 ~ $760$ 쪽, 즉 $760 - x$ 쪽을 읽음; 선택지: (A) $425$, (B) $444$, (C) $456$, (D) $484$, (E) $506$
구하는 것: 찬드라가 마지막으로 읽는 쪽 번호 $x$
이해
문제 재정리: 찬드라와 밥이 $760$ 쪽짜리 소설을 나누어 읽기로 합니다. 두 사람이 책 읽는 데 쓴 시간이 같도록, 찬드라는 $1$ 쪽부터 $x$ 쪽까지 한 쪽에 $30$ 초씩 읽고, 밥은 $x+1$ 쪽부터 $760$ 쪽까지 한 쪽에 $45$ 초씩 읽습니다. 찬드라가 마지막으로 읽는 쪽 번호 $x$ 를 구하세요.
주어진 것: 총 쪽수: $760$; 찬드라의 속도: 한 쪽에 $30$ 초; 밥의 속도: 한 쪽에 $45$ 초; 찬드라는 $1$ 쪽 ~ $x$ 쪽, 즉 $x$ 쪽을 읽음; 밥은 $x+1$ 쪽 ~ $760$ 쪽, 즉 $760 - x$ 쪽을 읽음; 선택지: (A) $425$, (B) $444$, (C) $456$, (D) $484$, (E) $506$
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기
속도는 "쪽당 초" 단위이고, 조건은 "두 사람의 총 시간이 같다"입니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 이 식 세우기를 거의 자동으로 만들어 줍니다: $(\text{쪽당 초}) \times (\text{쪽수}) = \text{초}$ 이므로 시간이 같다는 조건은 $30 \times (\text{찬드라 쪽수}) = 45 \times (\text{밥 쪽수})$. 이 식 자체가 쪽수의 비 $3:2$ 를 곧바로 드러내서 복잡한 대수 없이 답이 나옵니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 은 찬드라 쪽수에 $x$ 라는 이름을 붙여 식을 쓰는 데 쓰지만, 마무리는 비례로 가는 게 깔끔합니다.
실행 — 정답: C
6.EE.B.6 단계 1 - 미지수를 두고 짝이 되는 쪽수도 함께 표현합니다.
- 찬드라가 읽는 쪽수를 $x$ 라 두면 밥은 나머지 $760 - x$ 쪽을 읽습니다.
💡 모르는 양을 문자 하나로 두는 것은 6학년 "변수로 수를 나타내기" 그대로입니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 단위를 따라가며 각자의 총 시간을 식으로 씁니다.
- (쪽당 초) $\times$ (쪽수) $=$ (초).
- 시간이 같다는 조건을 적용하면 깔끔한 식 하나가 나옵니다.
💡 "쪽당 초" 단위를 추적하면 "쪽" 끼리 약분되고 양변에 "초" 만 남아 식이 자연스럽게 세워집니다.
6.RP.A.1 단계 3 - 이 식을 비례로 읽습니다.
- (속도) $\times$ (쪽수) 가 양쪽에서 같다는 말은 두 사람의 쪽수가 속도의 역수의 비라는 뜻입니다.
- 찬드라가 더 빠르니까($30 < 45$) 더 많이 읽습니다.
💡 속도가 다른 두 사람이 같은 시간을 쓰면 빠른 쪽이 더 많이 읽는다는 직관 그대로 — 속도 비 $45:30$ 이 쪽수 비 $3:2$ 로 뒤집힙니다.
6.RP.A.3 단계 4 - $760$ 쪽을 $3:2$ 로 나눕니다.
- 두 몫의 합은 $3 + 2 = 5$ 이므로 한 몫은 $760 \div 5 = 152$ 쪽.
- 찬드라는 $3$ 몫을 받습니다.
💡 전체를 정해진 비로 나누는 것은 6학년 비율 추론입니다: 몫의 개수를 세고, 한 몫을 구하고, 곱하면 끝.
6.EE.B.6 미지수를 두고 짝이 되는 쪽수도 함께 표현합니다. 찬드라가 읽는 쪽수를 $x$ 라 두면 밥은 나머지 $760 - x$ 쪽을 읽습니다. 6.RP.A.3 단위를 따라가며 각자의 총 시간을 식으로 씁니다. (쪽당 초) $\times$ (쪽수) $=$ (초). 시간이 같다는 조건을 적용하면 깔끔한 식 6.RP.A.1 이 식을 비례로 읽습니다. (속도) $\times$ (쪽수) 가 양쪽에서 같다는 말은 두 사람의 쪽수가 속도의 역수의 비라는 뜻입니다. 찬드라가 6.RP.A.3 $760$ 쪽을 $3:2$ 로 나눕니다. 두 몫의 합은 $3 + 2 = 5$ 이므로 한 몫은 $760 \div 5 = 152$ 쪽. 찬드라는 $ 검토
합리성 확인: 시간으로 확인합시다. 찬드라는 $456$ 쪽을 쪽당 $30$ 초에 읽으니 $456 \times 30 = 13{,}680$ 초. 밥은 $760 - 456 = 304$ 쪽을 쪽당 $45$ 초에 읽으니 $304 \times 45 = 13{,}680$ 초. 두 총 시간이 똑같으니 쪽 나눔이 옳습니다. 또 찬드라는 밥보다 $1.5$ 배 빠르고($45/30 = 1.5$), 실제로 $456/304 = 1.5$ — 같은 시간이라는 조건에 맞게 정확히 $1.5$ 배 더 읽었습니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 만으로 풀어도 됩니다. 식 $30x = 45(760 - x)$ 를 그대로 정리: $30x = 34{,}200 - 45x$, 양변에 $45x$ 를 더해 $75x = 34{,}200$, 나누면 $x = 34{,}200 / 75 = 456$. 답은 같은 (C) 이지만 계산이 더 많습니다 — 단위가 약분되는 것을 본 순간 비례로 가는 길이 더 깔끔합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.B.6변수를 사용해 수를 나타내고, 실생활 문제 해결을 위해 식을 세우기 (찬드라의 쪽수를 $x$ 로 두어 밥의 쪽수 $760 - x$ 와 두 사람의 읽기 시간을 식으로 나타내는 데 사용.)6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 ($30x = 45(760 - x)$ 를 쪽수의 비 $x : (760 - x) = 45 : 30 = 3 : 2$ 로 읽어내는 데 사용.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (시간 $=$ (쪽당 초) $\times$ (쪽수) 식을 세우고 $760$ 쪽을 $3 : 2$ 로 나눠 $x = \tfrac{3}{5} \times 760 = 456$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 같은 시간을 쓰는데 속도가 다르면 빠른 사람이 더 많이 읽어요 — "쪽당 초" 숫자가 곧 전체 쪽수를 어떤 비율로 나눌지 알려 주는 6학년 비례 문제예요.
⭐ 같은 시간을 쓰는데 속도가 다르면 빠른 사람이 더 많이 읽어요 — "쪽당 초" 숫자가 곧 전체 쪽수를 어떤 비율로 나눌지 알려 주는 6학년 비례 문제예요.