AMC 8 · 2006 · #16
학년 6 rate-ratio문제
Problems 14, 15 and 16 involve Mrs. Reed's English assignment.
A Novel Assignment
The students in Mrs. Reed's English class are reading the same 760-page novel. Three friends, Alice, Bob and Chandra, are in the class. Alice reads a page in 20 seconds, Bob reads a page in 45 seconds and Chandra reads a page in 30 seconds.
Before Chandra and Bob start reading, Alice says she would like to team read with them. If they divide the book into three sections so that each reads for the same length of time, how many seconds will each have to read?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $760$ 쪽짜리 소설을 앨리스, 밥, 찬드라 세 사람이 나누어 읽는데, 세 명 모두 똑같은 시간만큼 읽기로 합니다. 앨리스는 한 쪽에 $20$ 초, 밥은 한 쪽에 $45$ 초, 찬드라는 한 쪽에 $30$ 초가 걸립니다. 각자 읽어야 하는 시간(초)을 구하세요.
주어진 것: 총 쪽수: $760$ 쪽; 앨리스 속도: 한 쪽당 $20$ 초; 밥 속도: 한 쪽당 $45$ 초; 찬드라 속도: 한 쪽당 $30$ 초; 선택지: (A) $6400$, (B) $6600$, (C) $6800$, (D) $7000$, (E) $7200$
구하는 것: 세 명이 공통으로 읽는 시간 $T$ (초)
이해
문제 재정리: $760$ 쪽짜리 소설을 앨리스, 밥, 찬드라 세 사람이 나누어 읽는데, 세 명 모두 똑같은 시간만큼 읽기로 합니다. 앨리스는 한 쪽에 $20$ 초, 밥은 한 쪽에 $45$ 초, 찬드라는 한 쪽에 $30$ 초가 걸립니다. 각자 읽어야 하는 시간(초)을 구하세요.
주어진 것: 총 쪽수: $760$ 쪽; 앨리스 속도: 한 쪽당 $20$ 초; 밥 속도: 한 쪽당 $45$ 초; 찬드라 속도: 한 쪽당 $30$ 초; 선택지: (A) $6400$, (B) $6600$, (C) $6800$, (D) $7000$, (E) $7200$
계획
주요 도구: #3 방정식 세우기
보조 도구: #4 변수 도입하기
세 사람이 공유하는 미지수는 각자의 읽는 시간 $T$ 하나입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 미지수에 이름을 붙이면 각 사람이 읽는 쪽수를 $T$ 의 식으로 적을 수 있습니다. 그 다음 도구 #3(방정식 세우기)으로 세 사람의 쪽수 합이 $760$ 이라는 조건을 식으로 만듭니다. 그러면 미지수가 하나인 일차방정식이 되어 곧바로 풀 수 있습니다.
실행 — 정답: E
6.EE.B.6 단계 1 - 공통 시간에 이름을 붙입니다.
- 각 사람이 읽는 시간을 $T$ 초라고 둡니다.
- 우리가 구할 값이 바로 이 $T$ 입니다.
💡 "세 명 모두 같은 시간" 이라고만 하고 값을 안 주는 양은 문자로 두는 게 정석입니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 각자의 쪽수를 "시간 $\div$ 한 쪽당 걸리는 시간" 으로 적습니다.
- "쪽당 초" 를 뒤집으면 "초당 쪽" 이 되므로, $T$ 초 동안 읽는 쪽수 $=$ $T \div$ (쪽당 초) 입니다.
💡 단위 비율은 양방향으로 쓸 수 있어요. 한 쪽에 $20$ 초이면 $T$ 초 동안은 $T/20$ 쪽.
6.EE.B.7 단계 3 - 방정식을 세웁니다.
- 세 사람이 읽은 쪽수를 합치면 책 전체 $760$ 쪽이 됩니다.
💡 "부분들을 더하면 전체" 는 일 문제(work problem)의 기본 방정식 구조입니다.
6.NS.B.4 단계 4 - 분모를 없앱니다.
- $20$, $45$, $30$ 의 최소공배수는 $180$ 이므로 양변에 $180$ 을 곱합니다.
💡 최소공배수를 곱하면 분수 방정식이 정수 방정식으로 깔끔해집니다.
6.EE.B.7 단계 5 - $T$ 를 구합니다.
- $760 = 19 \cdot 40$ 임을 알아채면 $19$ 가 깔끔하게 약분됩니다.
💡 $760$ 이 $19$ 의 배수임을 알아채면 큰 곱셈을 피할 수 있습니다.
6.EE.B.6 공통 시간에 이름을 붙입니다. 각 사람이 읽는 시간을 $T$ 초라고 둡니다. 우리가 구할 값이 바로 이 $T$ 입니다. 6.RP.A.3 각자의 쪽수를 "시간 $\div$ 한 쪽당 걸리는 시간" 으로 적습니다. "쪽당 초" 를 뒤집으면 "초당 쪽" 이 되므로, $T$ 초 동안 읽는 6.EE.B.7 방정식을 세웁니다. 세 사람이 읽은 쪽수를 합치면 책 전체 $760$ 쪽이 됩니다. 6.NS.B.4 분모를 없앱니다. $20$, $45$, $30$ 의 최소공배수는 $180$ 이므로 양변에 $180$ 을 곱합니다. 6.EE.B.7 $T$ 를 구합니다. $760 = 19 \cdot 40$ 임을 알아채면 $19$ 가 깔끔하게 약분됩니다. 검토
합리성 확인: $T = 7200$ 을 다시 대입해 확인합니다. 앨리스는 $7200/20 = 360$ 쪽, 밥은 $7200/45 = 160$ 쪽, 찬드라는 $7200/30 = 240$ 쪽을 읽습니다. 합은 $360 + 160 + 240 = 760$ 쪽으로 책 전체와 정확히 일치합니다. 가장 빠른 앨리스가 가장 많이, 가장 느린 밥이 가장 적게 읽는 결과도 "같은 시간" 조건과 자연스럽게 맞습니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기 — 비율 이용): 같은 시간이라면 읽는 쪽수는 "쪽당 초" 의 역수에 비례합니다. $\tfrac{1}{20} : \tfrac{1}{45} : \tfrac{1}{30}$ 을 $180$ 배 하면 $9 : 4 : 6$ 이고 합은 $19$ 부분입니다. 따라서 한 부분이 $760/19 = 40$ 쪽이고, 앨리스의 $9$ 부분은 $9 \cdot 40 = 360$ 쪽이므로 시간은 $360 \cdot 20 = 7200$ 초. 같은 답 (E).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.B.6실세계·수학 문제를 풀 때 변수를 사용해 수를 나타내고 식 쓰기 (공통 읽기 시간을 $T$ 로 두어 각 사람의 쪽수를 $T$ 의 식으로 표현하는 데 사용.)6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실세계·수학 문제 풀기 ("쪽당 초" 를 이용해 시간 $T$ 동안 읽는 쪽수 $T/20$, $T/45$, $T/30$ 을 만드는 데 사용.)6.EE.B.7$x + p = q$, $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 문제 해결하기 (방정식 $T/20 + T/45 + T/30 = 760$ 을 세우고 $T$ 를 구하는 데 사용.)6.NS.B.4최대공약수와 최소공배수 구하기 (분모를 정리하기 위해 $\mathrm{lcm}(20, 45, 30) = 180$ 을 사용.)
⭐ 다른 속도 뒤에 같은 시간이 숨어 있을 때, 그 시간을 문자 하나로 두면 방정식 하나가 모든 일을 대신 해줘요.
⭐ 다른 속도 뒤에 같은 시간이 숨어 있을 때, 그 시간을 문자 하나로 두면 방정식 하나가 모든 일을 대신 해줘요.