AMC 8 · 2006 · #3
학년 6 rate-ratio문제
Elisa swims laps in the pool. When she first started, she completed 10 laps in 25 minutes. Now, she can finish 12 laps in 24 minutes. By how many minutes has she improved her lap time?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 엘리사는 예전에는 $10$ 바퀴를 $25$ 분에 돌았고, 지금은 $12$ 바퀴를 $24$ 분에 돕니다. 한 바퀴당 시간이 몇 분 줄었을까요?
주어진 것: 예전 기록: $25$ 분에 $10$ 바퀴; 지금 기록: $24$ 분에 $12$ 바퀴; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{3}{4}$, (C) $1$, (D) $2$, (E) $3$
구하는 것: 한 바퀴당 시간이 줄어든 양(예전 한 바퀴 시간 $-$ 지금 한 바퀴 시간)
이해
문제 재정리: 엘리사는 예전에는 $10$ 바퀴를 $25$ 분에 돌았고, 지금은 $12$ 바퀴를 $24$ 분에 돕니다. 한 바퀴당 시간이 몇 분 줄었을까요?
주어진 것: 예전 기록: $25$ 분에 $10$ 바퀴; 지금 기록: $24$ 분에 $12$ 바퀴; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{3}{4}$, (C) $1$, (D) $2$, (E) $3$
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
문제가 묻는 답의 단위는 "분/바퀴" 인데, 주어진 값은 총 바퀴 수와 총 시간이 섞여 있어요. 도구 #8(단위 살펴보기)은 먼저 두 기록을 모두 "분/바퀴" 로 바꾸라고 말해 줍니다 — 분을 바퀴로 나누면 한 바퀴당 시간이 나오니까요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 세 단계로 나눕니다: 예전 한 바퀴 시간, 지금 한 바퀴 시간, 그리고 그 차이. 각 단계는 나눗셈 한 번 또는 뺄셈 한 번뿐입니다.
실행 — 정답: A
6.RP.A.2 단계 1 - 엘리사의 예전 한 바퀴 시간을 구합니다.
- 총 분을 총 바퀴 수로 나눕니다.
💡 총량을 개수로 나누면 단위당 비율이 나옵니다 — 6학년 단위 비율 그대로예요.
6.RP.A.2 단계 2 같은 방법으로 지금 한 바퀴 시간을 구합니다.
💡 같은 단위 비율 공식, 숫자만 바뀝니다 — $24 \div 12 = 2$ 로 딱 떨어집니다.
5.NBT.B.7 단계 3 - 예전 시간에서 지금 시간을 뺍니다.
- 두 값 모두 "분/바퀴" 이므로 뺄셈이 성립하고, 결과의 단위도 같습니다.
💡 엘리사는 더 빨라졌으므로 예전 시간이 더 큰 수입니다. 줄어든 양은 "예전 $-$ 지금".
6.RP.A.2 엘리사의 예전 한 바퀴 시간을 구합니다. 총 분을 총 바퀴 수로 나눕니다. 6.RP.A.2 같은 방법으로 지금 한 바퀴 시간을 구합니다. 5.NBT.B.7 예전 시간에서 지금 시간을 뺍니다. 두 값 모두 "분/바퀴" 이므로 뺄셈이 성립하고, 결과의 단위도 같습니다. 검토
합리성 확인: 느낌으로 확인해 봅시다. 엘리사는 비슷한 시간 동안 $10$ 바퀴 대신 $12$ 바퀴를 돌았으니, 한 바퀴 시간은 "조금만" 줄어든 게 자연스러워요. 반 분(0.5 분) 정도가 딱 그 정도입니다. (C) $1$, (D) $2$, (E) $3$ 은 너무 큽니다 — 예전 한 바퀴 시간이 $25 \div 10 = 2.5$ 분뿐이라 $3$ 분이나 줄 수가 없어요. (B) $\tfrac{3}{4}$ 라면 지금 한 바퀴 시간이 $1.75$ 분이어야 하지만 실제로는 $24 \div 12 = 2$ 분으로 딱 떨어지므로 (A) 만 일관됩니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 예전 한 바퀴 시간이 $2.5$ 분이고, 지금 한 바퀴 시간은 $0$ 과 $2.5$ 사이의 수여야 합니다. 각 선택지를 "줄어든 양" 으로 가정해 보면 — (A) $0.5 \Rightarrow$ 지금 시간 $= 2$ 분, 그러면 $2 \times 12 = 24$ 분으로 주어진 $24$ 분과 일치합니다. 다른 선택지는 $12$ 바퀴와 곱했을 때 정수 분이 나오지 않으므로 (A) 만 살아남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.2비 $a:b$ 에 연결된 단위 비율 $a/b$ 의 개념 이해하기 (총 바퀴 수와 총 시간을 분/바퀴 단위 비율로 바꿔 두 기록을 같은 단위로 정렬하는 데 사용.)5.NBT.B.7백분위 자리까지의 소수 사칙연산 ($2.5 - 2 = 0.5$ 의 소수 뺄셈으로 줄어든 분/바퀴 값을 계산하는 데 사용.)
⭐ "한 바퀴당", "한 분당" 같은 단위가 보이면 먼저 두 비율을 그 단위로 바꿔 두세요 — 단위가 같아지면 뺄셈 한 번으로 답이 나옵니다.
⭐ "한 바퀴당", "한 분당" 같은 단위가 보이면 먼저 두 비율을 그 단위로 바꿔 두세요 — 단위가 같아지면 뺄셈 한 번으로 답이 나옵니다.