← Sensim Lab Sensim Math

AMC 8 · 2007 · #1

학년 6 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition
mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmean-median-mode-range
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Theresa's parents have agreed to buy her tickets to see her favorite band if she spends an average of 1010 hours per week helping around the house for 66 weeks. For the first 55 weeks she helps around the house for 88, 1111, 77, 1212 and 1010 hours. How many hours must she work for the final week to earn the tickets?

(A) 9(B) 10(C) 11(D) 12(E) 13\mathrm{(A)}\ 9 \qquad\mathrm{(B)}\ 10 \qquad\mathrm{(C)}\ 11 \qquad\mathrm{(D)}\ 12 \qquad\mathrm{(E)}\ 13

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9
(B)
10
(C)
11
(D)
12
(E)
13
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 테레사는 $6$ 주 동안 주당 평균 $10$ 시간 집안일을 해야 합니다. 처음 $5$ 주에는 각각 $8, 11, 7, 12, 10$ 시간을 일했어요. 평균 $10$ 시간을 채우려면 $6$ 주 차에는 몇 시간을 일해야 할까요?

주어진 것: $6$ 주 동안 목표 평균: 주당 $10$ 시간; 처음 $5$ 주의 시간: $8, 11, 7, 12, 10$; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $13$

구하는 것: $6$ 주 차에 일해야 하는 시간 $x$

이해

문제 재정리: 테레사는 $6$ 주 동안 주당 평균 $10$ 시간 집안일을 해야 합니다. 처음 $5$ 주에는 각각 $8, 11, 7, 12, 10$ 시간을 일했어요. 평균 $10$ 시간을 채우려면 $6$ 주 차에는 몇 시간을 일해야 할까요?

주어진 것: $6$ 주 동안 목표 평균: 주당 $10$ 시간; 처음 $5$ 주의 시간: $8, 11, 7, 12, 10$; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $13$

계획

주요 도구: #3 방정식 세우기

보조 도구: #4 변수 도입하기

"$6$ 주 평균 $= 10$" 이라는 조건은 미지수 하나(=$6$ 주 차 시간)에 대한 식 하나입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 미지수를 $x$ 라 부르고, 도구 #3(방정식 세우기)으로 평균 규칙(합 $\div$ 개수 $=$ 평균)을 $\dfrac{48+x}{6} = 10$ 으로 옮깁니다. 가장 깔끔한 지름길은 같은 식을 "총합 $=$ 평균 $\times$ 개수 $= 60$" 으로 바꾸는 것입니다. 그러면 $x = 60 - 48$ 로 한 번에 풀립니다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1
  • 미지수에 이름을 붙입니다.
  • 테레사가 $6$ 주 차에 일하는 시간을 $x$ 라고 합시다.
$$x = 6 \text{ 주 차 시간}$$

💡 모르는 양에 문자를 붙이는 건 6학년 "변수가 들어간 식 쓰기" 그대로입니다.

#3 방정식 세우기 6.SP.B.5 단계 2
  • 평균 조건을 "필요한 총 시간"으로 바꿉니다.
  • 평균 $\times$ 개수 $=$ 합 이므로, $6$ 주 동안의 총합은 $10 \times 6 = 60$ 시간이 되어야 합니다.
$$\text{필요한 총합} = 10 \times 6 = 60$$

💡 6학년 평균 공식을 뒤집으면 합 $=$ 평균 $\times$ 개수. "평균 $10$"이 "총합 $60$"이라는 구체적인 수로 바뀝니다.

#3 방정식 세우기 4.NBT.B.4 단계 3

처음 $5$ 주에 이미 채운 시간을 더해 봅니다.

$$8 + 11 + 7 + 12 + 10 = 48$$

💡 이미 알고 있는 다섯 주의 시간을 그대로 더하면 됩니다.

#3 방정식 세우기 6.EE.B.7 단계 4

총합이 $60$ 이어야 하고 이미 $48$ 을 채웠으니, $6$ 주 차에 모자란 만큼을 채우면 됩니다.

$$48 + x = 60 \;\Rightarrow\; x = 60 - 48 = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 한 단계 일차방정식: 양변에서 $48$ 을 빼면 끝.

[1] #4 6.EE.A.2 미지수에 이름을 붙입니다. 테레사가 $6$ 주 차에 일하는 시간을 $x$ 라고 합시다.
[2] #3 6.SP.B.5 평균 조건을 "필요한 총 시간"으로 바꿉니다. 평균 $\times$ 개수 $=$ 합 이므로, $6$ 주 동안의 총합은 $10 \times 6 =
[3] #3 4.NBT.B.4 처음 $5$ 주에 이미 채운 시간을 더해 봅니다.
[4] #3 6.EE.B.7 총합이 $60$ 이어야 하고 이미 $48$ 을 채웠으니, $6$ 주 차에 모자란 만큼을 채우면 됩니다.

검토

합리성 확인: $x = 12$ 를 다시 평균에 넣어 확인합니다: $\dfrac{8+11+7+12+10+12}{6} = \dfrac{60}{6} = 10$. 평균이 정확히 $10$ 이 되어 목표와 일치합니다. 또 $12$ 는 기존 주간 시간 범위($7$ ~ $12$) 안에 들어가는 자연스러운 값이에요. 터무니없이 큰 값이 아니라는 점도 답을 든든히 받쳐 줍니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기) — 평균 $10$ 으로부터의 편차를 봅니다. 처음 $5$ 주의 편차는 $-2, +1, -3, +2, 0$ 으로 합이 $-2$. 평균이 정확히 $10$ 이 되려면 편차의 총합이 $0$ 이어야 하므로 $6$ 주 차에는 $+2$ 의 편차, 즉 $10 + 2 = 12$ 시간을 일해야 합니다. 결과는 같은 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

  • 4.NBT.B.4 여러 자리 수를 능숙하게 더하고 빼기 ($8 + 11 + 7 + 12 + 10 = 48$ 과 $60 - 48 = 12$ 를 계산하는 데 사용.)
  • 6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (모르는 $6$ 주 차 시간을 문자 $x$ 로 두는 데 사용.)
  • 6.EE.B.7 $x + p = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제를 해결하기 ($48 + x = 60$ 을 한 단계로 풀어 $x$ 를 구하는 데 사용.)
  • 6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균 $\times$ 개수 $=$ 총합 을 이용해 "$6$ 주 평균 $10$"을 "총합 $60$"으로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 평균 목표는 사실 총합 목표예요. 평균 $\times$ 개수로 "채워야 할 총합"을 구하고 이미 한 만큼을 빼면, 남은 게 $6$ 주 차 시간이에요.

⭐ 평균 목표는 사실 총합 목표예요. 평균 $\times$ 개수로 "채워야 할 총합"을 구하고 이미 한 만큼을 빼면, 남은 게 $6$ 주 차 시간이에요.

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.