AMC 8 · 2007 · #11

학년 4 logic

logical-deductionsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

Tiles $I, II, III$ and $IV$ are translated so one tile coincides with each of the rectangles $A, B, C$ and $D$ . In the final arrangement, the two numbers on any side common to two adjacent tiles must be the same. Which of the tiles is translated to Rectangle $C$ ?

$\mathrm{(A)}\ I \qquad \mathrm{(B)}\ II \qquad \mathrm{(C)}\ III \qquad \mathrm{(D)}\ IV \qquad \mathrm{(E)}$ cannot be determined

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

III

(D)

(E)

cannot be determined

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 장의 정사각형 타일 I, II, III, IV 의 네 변에는 각각 숫자가 적혀 있습니다. 회전이나 뒤집기 없이 평행이동만으로 $2 \times 2$ 격자의 A(좌상), B(우상), C(좌하), D(우하) 에 한 장씩 끼워 넣습니다. 두 타일이 맞닿는 변에서는 양쪽에 같은 수가 적혀 있어야 합니다. C 자리에 들어가는 타일은 어느 것일까요?

주어진 것: 타일 I — 위 $8$, 오른쪽 $9$, 아래 $7$, 왼쪽 $3$; 타일 II — 위 $6$, 오른쪽 $3$, 아래 $2$, 왼쪽 $4$; 타일 III — 위 $7$, 오른쪽 $5$, 아래 $0$, 왼쪽 $1$; 타일 IV — 위 $2$, 오른쪽 $1$, 아래 $6$, 왼쪽 $9$; 격자 배치: A 좌상, B 우상, C 좌하, D 우하; 타일은 평행이동만 가능하므로 각 타일의 위·오른쪽·아래·왼쪽은 그대로 유지됩니다; 선택지: (A) I, (B) II, (C) III, (D) IV, (E) 결정할 수 없다

구하는 것: C 자리에 들어가는 타일

이해

계획

주요 도구: #2 체계적인 목록 만들기

보조 도구: #13 체계적으로 세기

도구 #2(체계적인 목록 만들기)로 $16$ 개 모서리 숫자를 표 하나에 모두 늘어놓아 놓치지 않도록 합니다. 도구 #13(체계적으로 세기)으로 $0$~$9$ 각각이 몇 번 등장하는지 셉니다. 핵심 관찰: $2 \times 2$ 격자의 내부 변은 두 타일이 공유하므로 거기에 쓰이는 수는 적어도 두 번 나타나야 합니다. 단 한 번만 등장하는 수는 내부 변에 올 수 없고 바깥 경계로 향해야 합니다. 이 유일성 조건이 한 타일의 자리를 강제로 정하고, 나머지 세 타일은 공유 변을 맞추며 차례로 결정됩니다.

실행 — 정답: D

#2 체계적인 목록 만들기 3.MD.B.3 단계 1

네 타일의 모서리 숫자를 한 표에 정리합니다.

$$\begin{array}{c|cccc} & \text{위} & \text{오른쪽} & \text{아래} & \text{왼쪽} \\ \hline \text{I} & 8 & 9 & 7 & 3 \\ \text{II} & 6 & 3 & 2 & 4 \\ \text{III} & 7 & 5 & 0 & 1 \\ \text{IV} & 2 & 1 & 6 & 9 \end{array}$$

💡 표로 깔끔하게 적어 두면 어떤 숫자가 반복되고 어떤 숫자가 단 한 번 등장하는지 한눈에 보입니다.

#13 체계적으로 세기 3.MD.B.3 단계 2

$16$ 개 모서리 전체에서 각 숫자가 몇 번 나오는지 셉니다.
$0$ 과 $5$ 는 각각 정확히 한 번씩만 등장하며, 둘 다 타일 III 에 있습니다($0$ 은 아래, $5$ 는 오른쪽).

빈도: $0{:}1,\; 1{:}2,\; 2{:}2,\; 3{:}2,\; 4{:}1,\; 5{:}1,\; 6{:}2,\; 7{:}2,\; 8{:}1,\; 9{:}2$

💡 내부 변은 양쪽에 같은 수가 필요하므로, 내부 변에 쓰이는 수는 표 안에서 최소 두 번 등장해야 합니다.

#13 체계적으로 세기 4.OA.C.5 단계 3

타일 III 의 자리를 정합니다.
격자의 내부 변은 가운데 가로선(A 의 아래 = C 의 위, B 의 아래 = D 의 위)과 가운데 세로선(A 의 오른쪽 = B 의 왼쪽, C 의 오른쪽 = D 의 왼쪽)입니다.
타일 III 의 아래($0$)와 오른쪽($5$)은 둘 다 유일한 값이므로 어느 쪽도 내부 변에 올 수 없고, 둘 다 바깥 경계를 향해야 합니다.
타일의 아래와 오른쪽이 동시에 바깥을 향하는 자리는 우하단뿐입니다.

$$\text{III} \to \text{D}$$

💡 우하단은 한 타일의 아래쪽과 오른쪽이 둘 다 격자 바깥을 향하는 유일한 자리입니다.

#2 체계적인 목록 만들기 4.OA.C.5 단계 4

타일 III 의 내부 변과 맞물리는 타일을 찾습니다.
III 의 위는 $7$, 왼쪽은 $1$ 입니다.
D 위에 있는 B 의 타일은 아래 $= 7$ 이어야 하고, D 왼쪽에 있는 C 의 타일은 오른쪽 $= 1$ 이어야 합니다.
표를 보면 아래가 $7$ 인 타일은 I 뿐이므로 I 는 B 에, 오른쪽이 $1$ 인 타일은 IV 뿐이므로 IV 는 C 에 들어갑니다.

$$\text{I} \to \text{B}, \quad \text{IV} \to \text{C}$$

💡 필요한 값을 가진 타일이 각각 하나뿐이라 자리가 곧바로 강제됩니다.

#2 체계적인 목록 만들기 4.OA.C.5 단계 5

나머지 변을 점검합니다.
남은 타일은 II 하나뿐이므로 II 는 A 에 들어갑니다.
나머지 공유 변도 확인: A-B 는 I 의 왼쪽($3$)과 II 의 오른쪽($3$), A-C 는 II 의 아래($2$)와 IV 의 위($2$).
둘 다 일치합니다.

$$\text{II} \to \text{A};\quad 3 = 3,\; 2 = 2 \;\checkmark$$

💡 세 자리를 정하고 공유 변이 전부 맞으면 마지막 타일은 자동으로 들어맞습니다.

#2 체계적인 목록 만들기 4.OA.C.5 단계 6

답을 읽어 냅니다.

$$\text{C 에 들어가는 타일은 IV} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 타일 IV 는 오른쪽이 $1$ 인 유일한 타일이라서, 오른쪽 열에서 III 의 왼쪽($1$)과 맞물리는 자리가 C 입니다.

[1] #2 3.MD.B.3 네 타일의 모서리 숫자를 한 표에 정리합니다.

[2] #13 3.MD.B.3 $16$ 개 모서리 전체에서 각 숫자가 몇 번 나오는지 셉니다. $0$ 과 $5$ 는 각각 정확히 한 번씩만 등장하며, 둘 다 타일 III 에

[3] #13 4.OA.C.5 타일 III 의 자리를 정합니다. 격자의 내부 변은 가운데 가로선(A 의 아래 = C 의 위, B 의 아래 = D 의 위)과 가운데 세로선(A

[4] #2 4.OA.C.5 타일 III 의 내부 변과 맞물리는 타일을 찾습니다. III 의 위는 $7$, 왼쪽은 $1$ 입니다. D 위에 있는 B 의 타일은 아래 $= 7

[5] #2 4.OA.C.5 나머지 변을 점검합니다. 남은 타일은 II 하나뿐이므로 II 는 A 에 들어갑니다. 나머지 공유 변도 확인: A-B 는 I 의 왼쪽($3$)과

[6] #2 4.OA.C.5 답을 읽어 냅니다.

검토

합리성 확인: 최종 배치 $\begin{smallmatrix} \text{II} & \text{I} \\ \text{IV} & \text{III} \end{smallmatrix}$ 의 네 공유 변을 모두 확인합니다. A-B: II 의 오른쪽 $3$ = I 의 왼쪽 $3$ $\checkmark$; C-D: IV 의 오른쪽 $1$ = III 의 왼쪽 $1$ $\checkmark$; A-C: II 의 아래 $2$ = IV 의 위 $2$ $\checkmark$; B-D: I 의 아래 $7$ = III 의 위 $7$ $\checkmark$. 네 내부 변이 모두 맞고, 유일하게 한 번만 등장한 $0, 4, 5, 8$ 은 모두 바깥 경계에 자리잡았으니 유일성 논증이 그대로 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(예측하고 검증하기): 타일 I 를 C 에 두어 봅니다. 그러면 C 의 오른쪽($9$)이 D 의 왼쪽과 같아야 하므로 D 자리에는 왼쪽 $= 9$ 인 타일, 즉 IV 가 와야 합니다. 그런데 C 의 위($8$)는 A 의 아래와 같아야 하는데 남은 어떤 타일도 아래 $= 8$ 이 아니어서 막힙니다. II 를 C 에 두면 II 의 오른쪽이 $3$ 이라 D 자리에는 왼쪽 $3$ 인 타일이 필요한데 그런 타일이 없습니다. III 을 C 에 두면 오른쪽이 $5$ 라서 왼쪽 $5$ 인 타일이 필요한데 역시 없습니다. 결국 살아남는 경우는 IV 를 C 에 두는 경우뿐이라 답은 (D) 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.MD.B.3 여러 범주의 자료를 나타내는 그림그래프와 막대그래프 그리기 (각 타일의 네 모서리 값을 표로 정리하고 각 숫자가 몇 번 등장하는지 세는 3학년 자료 정리 작업에 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (맞닿는 변 규칙을 따라 배치를 연쇄적으로 결정: III $\to$ D 가 I $\to$ B 와 IV $\to$ C 를 강제하고, 마지막에 II $\to$ A 가 남습니다.)

⭐ 타일 모서리 숫자를 표로 정리한 뒤 빈도를 세요. 단 한 번만 나오는 숫자는 짝지을 수 없으니 바깥쪽을 향할 수밖에 없고, 그 한 가지 관찰만으로 퍼즐 전체가 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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