AMC 8 · 2007 · #17

학년 6 rate-ratio

percentageratio-proportionfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagefraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A mixture of $30$ liters of paint is $25\%$ red tint, $30\%$ yellow
tint and $45\%$ water. Five liters of yellow tint are added to
the original mixture. What is the percent of yellow tint
in the new mixture?

$\mathrm{(A)}\ 25 \qquad \mathrm{(B)}\ 35 \qquad \mathrm{(C)}\ 40 \qquad \mathrm{(D)}\ 45 \qquad \mathrm{(E)}\ 50$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $30$ 리터의 페인트 혼합물이 빨간색 안료 $25\%$, 노란색 안료 $30\%$, 물 $45\%$ 로 이루어져 있습니다. 여기에 순수한 노란색 안료 $5$ 리터를 더 넣었어요. 새 혼합물에서 노란색 안료가 차지하는 비율은 몇 퍼센트일까요?

주어진 것: 원래 혼합물: 총 $30$ 리터; 원래 구성: 빨간색 안료 $25\%$, 노란색 안료 $30\%$, 물 $45\%$; 순수한 노란색 안료 $5$ 리터를 추가; 선택지: (A) $25$, (B) $35$, (C) $40$, (D) $45$, (E) $50$

구하는 것: 새 혼합물에서 노란색 안료가 차지하는 퍼센트

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

이 문제의 함정은 $30\%$ 라는 퍼센트로 그대로 계산하려는 것입니다. 한 부분만 더 부으면 그 부분도 늘고 전체도 늘어나니까, 퍼센트는 깔끔한 숫자로 올라가지 않아요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 풀이를 세 단계로 나눕니다: (a) $30\%$ 를 실제 노란색 리터로 환산, (b) 추가한 뒤 노란색 리터와 전체 리터를 갱신, (c) 다시 퍼센트로 환산. 각 단계는 산수 한 줄이에요. 도구 #1(그림 그리기)은 부분-전체 막대그림으로 "노란 칸도 늘고 전체 막대도 늘어난다"는 점을 눈에 보이게 해 줍니다. 식을 세우는 도구 #13(대수로 바꾸기)은 필요 없어요 — 세 줄의 산수로 끝납니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

시작 퍼센트를 노란색 리터로 환산합니다.
원래 혼합물 $30$ 리터의 $30\%$ 가 노란색 안료이니, "전체의 몇 퍼센트" 계산을 적용합니다.

$$\text{노란색}_{\text{원래}} = 30\% \times 30 = 0.30 \times 30 = 9 \text{ 리터}$$

💡 $30$ 의 $30\%$ 는 $\tfrac{3}{10}$ 의 $30$ 과 같으므로 $9$. 6학년 "전체의 퍼센트" 그대로입니다.

#1 그림 그리기 4.OA.A.3 단계 2

순수 노란색 $5$ 리터를 추가한 뒤 노란색 양을 갱신합니다.
빨간색과 물은 그대로이고 노란색만 늘어납니다.

$$\text{노란색}_{\text{새}} = 9 + 5 = 14 \text{ 리터}$$

💡 부분-전체 막대에서 노란 칸만 $5$ 리터 늘어나고, 빨간 칸과 물 칸은 그대로 있습니다.

#1 그림 그리기 4.OA.A.3 단계 3

전체 부피도 갱신합니다.
추가한 $5$ 리터만큼 전체가 $30$ 에서 $35$ 리터로 늘어납니다.

$$\text{전체}_{\text{새}} = 30 + 5 = 35 \text{ 리터}$$

💡 통에서 나간 건 없고 들어온 $5$ 리터만큼 막대 전체가 길어집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

다시 퍼센트로 환산합니다.
새 노란색 리터를 새 전체 리터로 나눕니다.

$$\dfrac{\text{노란색}_{\text{새}}}{\text{전체}_{\text{새}}} = \dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5} = 40\% \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $14$ 와 $35$ 의 공약수 $7$ 로 약분하면 $\tfrac{2}{5}$ 이고, 6학년이면 $\tfrac{2}{5} = 40\%$ 는 외워두는 변환.

[1] #7 6.RP.A.3 시작 퍼센트를 노란색 리터로 환산합니다. 원래 혼합물 $30$ 리터의 $30\%$ 가 노란색 안료이니, "전체의 몇 퍼센트" 계산을 적용합니다.

[2] #1 4.OA.A.3 순수 노란색 $5$ 리터를 추가한 뒤 노란색 양을 갱신합니다. 빨간색과 물은 그대로이고 노란색만 늘어납니다.

[3] #1 4.OA.A.3 전체 부피도 갱신합니다. 추가한 $5$ 리터만큼 전체가 $30$ 에서 $35$ 리터로 늘어납니다.

[4] #7 6.RP.A.3 다시 퍼센트로 환산합니다. 새 노란색 리터를 새 전체 리터로 나눕니다.

검토

합리성 확인: 답의 크기가 적당한지 확인합니다. 노란색은 $30\%$ 에서 시작했고 노란색을 더 부었으니, 새 비율은 반드시 $30\%$ 보다 커야 합니다 — 그래서 (A) $25$ 는 탈락. 그런데 $5$ 리터를 전체 $35$ 리터 중에 부은 것이니 큰 도약은 어렵습니다 — $50\%$ 가 되려면 노란색이 $17.5$ 리터여야 하는데, 우리는 $14$ 리터뿐이에요. $30\%$ 에서 $40\%$ 로 $10$ 퍼센트포인트 오르는 것이 부은 양과 잘 맞습니다. 마지막 확인: 빨간색은 그대로 $25\% \times 30 = 7.5$ 리터, 물은 $45\% \times 30 = 13.5$ 리터, 합하면 $7.5 + 13.5 + 14 = 35$ 로 새 전체와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 단독: 길이 $30$ 인 막대를 빨간 $7.5$, 노란 $9$, 물 $13.5$ 로 나눕니다. 노란 끝쪽에 $5$ 짜리 막대를 이어 붙이면 전체 막대는 $35$, 노란 부분은 $14$. 그림에서 노란 비율 $\tfrac{14}{35} = \tfrac{2}{5} = 40\%$ — 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율을 이용해 실생활 문제, 특히 퍼센트 문제를 해결하기 ($30$ 리터의 $30\%$ 를 $9$ 리터로 환산하고, 다시 $\tfrac{14}{35}$ 를 $40\%$ 로 환산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결하기 (노란색 양을 $9 + 5 = 14$ 로, 전체 양을 $30 + 5 = 35$ 로 갱신해 추가 후 혼합물 상태를 정리하는 데 사용.)

⭐ 혼합물의 퍼센트가 묻는 문제는 먼저 실제 양으로 바꿔서 풀어요 — $30\%$ 를 $9$ 리터로 바꾸고, 더해 준 다음, 마지막에 다시 퍼센트로. 숫자들이 알아서 결판을 냅니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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