AMC 8 · 2007 · #7

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmean-median-mode-range

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The average age of $5$ people in a room is $30$ years. An $18$ -year-old person leaves
the room. What is the average age of the four remaining people?

$\mathrm{(A)}\ 25 \qquad\mathrm{(B)}\ 26 \qquad\mathrm{(C)}\ 29 \qquad\mathrm{(D)}\ 33 \qquad\mathrm{(E)}\ 36$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방 안에 다섯 사람이 있고, 이들의 평균 나이는 $30$ 세입니다. 그중 $18$ 세인 사람이 방을 나갑니다. 남은 네 사람의 평균 나이는 얼마일까요?

주어진 것: 방에 사람이 $5$ 명 있다; 다섯 사람의 평균 나이는 $30$ 세이다; $18$ 세인 사람이 방을 나간다; 선택지: (A) $25$, (B) $26$, (C) $29$, (D) $33$, (E) $36$

구하는 것: 남은 $4$ 명의 평균 나이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

평균은 빼기가 그대로 통하지 않습니다 — $30 - 18$ 같은 식으로 답을 낼 수 없어요. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 맞춤입니다. 문제는 세 개의 작은 단계로 나뉩니다: (1) 원래 평균과 인원수로 원래 나이 총합 복원, (2) 나간 사람의 나이를 빼서 새 총합 구하기, (3) 새 총합을 새 인원수로 나누기. 각 단계는 6학년 평균 공식 한 번이면 끝나며 변수나 방정식까지 갈 필요가 없습니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 1

원래 나이 총합을 복원합니다.
평균 공식에 따르면 총합 $=$ 평균 $\times$ 인원.
다섯 사람 평균이 $30$ 세이므로 총합은 $5 \times 30$.

$$\text{원래 총합} = 5 \times 30 = 150 \text{ 세}$$

💡 6학년 평균 공식을 거꾸로 쓴 것. 평균과 인원수를 알면 총합이 정해집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

나간 사람을 뺍니다.
$18$ 세인 사람이 방을 나가므로 총합은 정확히 $18$ 만큼 줄어듭니다.
다른 사람의 나이는 그대로입니다.

$$\text{새 총합} = 150 - 18 = 132 \text{ 세}$$

💡 여기서는 총합만 바뀝니다. 인원수 변화는 다음 단계에서 처리합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 3

새 총합을 새 인원수 $4$ 로 나누어 평균을 다시 구합니다.

$$\text{새 평균} = \dfrac{132}{4} = 33 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 같은 평균 공식, 이번에는 정방향으로: 총합 $\div$ 인원.

[1] #7 6.SP.B.5 원래 나이 총합을 복원합니다. 평균 공식에 따르면 총합 $=$ 평균 $\times$ 인원. 다섯 사람 평균이 $30$ 세이므로 총합은 $5 \t

[2] #7 4.OA.A.3 나간 사람을 뺍니다. $18$ 세인 사람이 방을 나가므로 총합은 정확히 $18$ 만큼 줄어듭니다. 다른 사람의 나이는 그대로입니다.

[3] #7 6.SP.B.5 새 총합을 새 인원수 $4$ 로 나누어 평균을 다시 구합니다.

검토

합리성 확인: 방향부터 짚어 봅시다. 나간 사람의 나이 $18$ 세는 평균 $30$ 세보다 한참 아래입니다. 평균보다 어린 사람이 빠지면 남은 평균은 올라가야 하고, $33 > 30$ 이므로 방향이 맞습니다. 반대로도 검산: 남은 $4$ 명 평균이 $33$ 이면 총합은 $4 \times 33 = 132$. 거기에 나간 $18$ 세를 다시 더하면 $132 + 18 = 150$, $150 / 5 = 30$ 으로 원래 평균과 정확히 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(식 세우기)으로 한 줄에 끝낼 수도 있습니다. 새 평균을 $N$ 이라 하면 다섯 사람 전체 나이 총합은 두 가지로 쓸 수 있습니다: 원래 평균으로는 $5 \times 30 = 150$, 새 평균으로는 남은 사람 합 $+ 18 = 4N + 18$. 같다고 놓으면 $4N + 18 = 150$, $4N = 132$, $N = 33$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균 공식을 양방향으로 사용: 평균 $\times$ 인원 $=$ 총합으로 원래 총합 $150$ 을 복원하고, 총합 $\div$ 인원으로 새 평균 $132/4 = 33$ 을 계산.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용해 여러 단계의 정수 문장제 해결하기 (여러 단계 계획의 중간 단계로 원래 총합에서 나간 사람의 나이를 빼는 $150 - 18 = 132$ 에 사용.)

⭐ 평균은 그대로 빼지지 않아요. "누가 나갔다" 같은 문제는 먼저 총합으로 돌아가서 그 사람의 나이를 빼고, 새 인원수로 다시 나누면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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