AMC 8 · 2008 · #10
학년 6 arithmetic문제
The average age of the people in Room A is . The average age of the people in Room B is . If the two groups are combined, what is the average age of all the people?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: A 방에는 $6$ 명이 있고 나이의 평균은 $40$ 입니다. B 방에는 $4$ 명이 있고 나이의 평균은 $25$ 입니다. 두 방의 사람을 모두 합치면 전체 $10$ 명의 평균 나이는 얼마일까요?
주어진 것: A 방: $6$ 명, 평균 나이 $40$; B 방: $4$ 명, 평균 나이 $25$; 선택지: (A) $32.5$, (B) $33$, (C) $33.5$, (D) $34$, (E) $35$
구하는 것: 두 방을 합쳤을 때 $10$ 명 전체의 평균 나이
이해
문제 재정리: A 방에는 $6$ 명이 있고 나이의 평균은 $40$ 입니다. B 방에는 $4$ 명이 있고 나이의 평균은 $25$ 입니다. 두 방의 사람을 모두 합치면 전체 $10$ 명의 평균 나이는 얼마일까요?
주어진 것: A 방: $6$ 명, 평균 나이 $40$; B 방: $4$ 명, 평균 나이 $25$; 선택지: (A) $32.5$, (B) $33$, (C) $33.5$, (D) $34$, (E) $35$
계획
주요 도구: #16 구조 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 나누기
단순히 $40$ 과 $25$ 를 평균낸 $(40+25)/2$ 로 답하면 안 됩니다. 두 방의 인원수가 다르기 때문이죠. 도구 #16(구조 바꾸기)의 아이디어는 평균을 다시 "총합"으로 되돌리는 것입니다. 두 방을 모두 총합으로 표현하고 나면, 합친 방의 평균은 "두 합을 더한 값 $\div$ 두 인원수를 더한 값" 으로 깔끔해집니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 "각 방의 총합 구하기" 와 "합치기" 두 단계로 쪼개면 계산이 단순해집니다.
실행 — 정답: D
6.SP.B.5 단계 1 - 작은 문제 1: A 방의 총 나이를 구합니다.
- 평균 $\times$ 인원수 = 총합이므로 $40$ 에 $6$ 을 곱합니다.
💡 평균이 $40$ 이라면 A 방 사람 모두가 $40$ 살이라 생각해도 합은 같습니다. $40$ 살 여섯 명 합치면 $240$.
6.SP.B.5 단계 2 작은 문제 2: B 방의 총 나이도 같은 방식으로 구합니다 — 평균 $\times$ 인원수.
💡 $25$ 살 네 명을 합치면 $100$.
5.NBT.B.5 단계 3 - 두 방을 합칩니다.
- 합친 총 나이는 두 방 총합의 합, 합친 인원은 $6+4=10$.
💡 두 방을 한 방에 쏟아붓고, 사람도 다 세고 나이도 다 더합니다.
6.SP.B.5 단계 4 이제 평균 공식을 한 번 더 — 합친 그룹에 적용합니다.
💡 합 $\div$ 인원 = 새 평균. $10$ 으로 나누는 건 소수점을 한 칸 옮기는 일.
6.SP.B.5 작은 문제 1: A 방의 총 나이를 구합니다. 평균 $\times$ 인원수 = 총합이므로 $40$ 에 $6$ 을 곱합니다. 6.SP.B.5 작은 문제 2: B 방의 총 나이도 같은 방식으로 구합니다 — 평균 $\times$ 인원수. 5.NBT.B.5 두 방을 합칩니다. 합친 총 나이는 두 방 총합의 합, 합친 인원은 $6+4=10$. 6.SP.B.5 이제 평균 공식을 한 번 더 — 합친 그룹에 적용합니다. 검토
합리성 확인: 답 $34$ 는 B 방 평균 $25$ 와 A 방 평균 $40$ 사이에 들어있습니다 — 두 그룹을 합친 평균은 절대로 그 두 평균 범위를 벗어날 수 없습니다. 그리고 $34$ 는 $25$ 보다 $40$ 에 더 가깝습니다. A 방($6$ 명)이 B 방($4$ 명)보다 많아서 평균을 $40$ 쪽으로 더 끌어당기기 때문이죠. 간단한 확인: $25$ 와 $40$ 의 중간은 $32.5$ 이고, 더 큰 그룹이 더 나이가 많으니 답은 $32.5$ 보다 커야 합니다. 실제로 $34 > 32.5$.
대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기) — 가중평균 공식. 합친 평균을 $\bar{x}$ 라 하면 $\bar{x} = \dfrac{6 \cdot 40 + 4 \cdot 25}{6 + 4} = \dfrac{340}{10} = 34$. 한 줄로 끝나는 두 그룹 가중평균 지름길입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NBT.B.5표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수 능숙하게 곱하기 (각 방의 총합($6 \times 40 = 240$, $4 \times 25 = 100$)과 합친 총합을 계산하는 데 사용.)6.SP.B.5관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균 공식(합 $\div$ 개수)을 거꾸로 적용해 각 방의 총합을 복원하고, 다시 정방향으로 적용해 합친 평균 $340 \div 10 = 34$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 인원수가 다른 두 그룹을 합칠 때는 두 평균만 또 평균내면 안 됩니다. 각 평균을 총합으로 되돌리고, 총합끼리 더한 뒤 새 인원수로 나누세요 — 큰 그룹이 평균을 더 강하게 끌어당깁니다.
⭐ 인원수가 다른 두 그룹을 합칠 때는 두 평균만 또 평균내면 안 됩니다. 각 평균을 총합으로 되돌리고, 총합끼리 더한 뒤 새 인원수로 나누세요 — 큰 그룹이 평균을 더 강하게 끌어당깁니다.