AMC 8 · 2008 · #3

학년 4 arithmetic

modular-arithmeticpattern-recognitiondivisibility-rules modular-arithmeticpattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticpattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

If February is a month that contains Friday the $13^{\text{th}}$ , what day of the week is February 1?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Sunday

(B)

Monday

(C)

Wednesday

(D)

Thursday

(E)

Saturday

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2$ 월에 $13$ 일이 금요일인 해가 있습니다. 이때 $2$ 월 $1$ 일은 무슨 요일일까요?

주어진 것: $2$ 월 $13$ 일은 금요일; 요일은 $7$ 일마다 반복된다; 선택지: (A) 일요일, (B) 월요일, (C) 수요일, (D) 목요일, (E) 토요일

구하는 것: $2$ 월 $1$ 일의 요일

이해

문제 재정리: $2$ 월에 $13$ 일이 금요일인 해가 있습니다. 이때 $2$ 월 $1$ 일은 무슨 요일일까요?

주어진 것: $2$ 월 $13$ 일은 금요일; 요일은 $7$ 일마다 반복된다; 선택지: (A) 일요일, (B) 월요일, (C) 수요일, (D) 목요일, (E) 토요일

계획

주요 도구: #12 나머지·홀짝 활용하기

보조 도구: #8 거꾸로 풀기

요일은 $7$ 일마다 같은 것이 반복돼요. 그래서 $2$ 월 $13$ 일에서 $2$ 월 $1$ 일로 뒤로 갈 때 진짜 중요한 것은 $12$ 를 $7$ 로 나눈 나머지뿐입니다. 도구 #12(나머지·홀짝 활용하기)가 바로 그 아이디어를 정리해 줘요: $12 \equiv 5 \pmod 7$. 도구 #8(거꾸로 풀기)은 시작점을 알려 줍니다 — 우리는 금요일인 $2$ 월 $13$ 일을 알고 $2$ 월 $1$ 일을 모르니까 시간을 거슬러 갑니다. 즉, $7$ 일(한 주)을 통째로 뒤로 건너뛰고, 남은 $5$ 일만 손으로 세면 됩니다.

실행 — 정답: A

#8 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 1

$2$ 월 $1$ 일이 $2$ 월 $13$ 일보다 며칠 앞인지 구합니다.
날짜끼리 뺄셈을 합니다.

$$13 - 1 = 12 \text{ 일}$$

💡 아는 요일에서 거꾸로 가려면 먼저 간격을 잰다 — 수직선을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는 것과 같아요.

#12 나머지·홀짝 활용하기 4.OA.B.4 단계 2

$12$ 일을 "꽉 찬 한 주" 와 "남은 며칠" 로 쪼갭니다.
$7$ 일은 한 바퀴 돌아 같은 요일로 돌아오니까 건너뛰어도 됩니다.

$$12 = 7 + 5 \;\Rightarrow\; 12 \equiv 5 \pmod 7$$

💡 $7$ 로 나누고 나머지만 보는 것이 모듈러 산술의 핵심 — 주기 $7$ 은 사라지고 남은 $5$ 일만 요일을 바꿉니다.

#12 나머지·홀짝 활용하기 3.OA.D.9 단계 3

$7$ 일 건너뛰기를 실행합니다.
금요일 $2$ 월 $13$ 일에서 정확히 $7$ 일 뒤로 가면 $2$ 월 $6$ 일, 역시 금요일입니다.

$$2 \text{ 월 } 13 \text{ 일 (금)} - 7 \text{ 일} = 2 \text{ 월 } 6 \text{ 일 (금)}$$

💡 3학년 "규칙 찾기" 그대로: $7$ 걸음마다 요일이 반복됩니다.

#8 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 4

이제 금요일 $2$ 월 $6$ 일에서 $2$ 월 $1$ 일까지 남은 $5$ 일을 거꾸로 셉니다.
요일을 뒤로: 금 → 목 → 수 → 화 → 월 → 일.

$\text{금} \to \text{목} \to \text{수} \to \text{화} \to \text{월} \to \text{일}$ (뒤로 $5$ 걸음)

💡 금요일에서 뒤로 다섯 걸음 가면 일요일 — 남은 며칠이 실제 요일 이동을 만듭니다.

#12 나머지·홀짝 활용하기 4.OA.A.3 단계 5

답을 읽습니다.
$2$ 월 $1$ 일은 일요일입니다.

$$2 \text{ 월 } 1 \text{ 일} = \text{일요일} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $7$ 로 나눈 나머지만 챙기고 짧게 거꾸로 세면 요일이 바로 나옵니다.

[1] #8 4.OA.A.3 $2$ 월 $1$ 일이 $2$ 월 $13$ 일보다 며칠 앞인지 구합니다. 날짜끼리 뺄셈을 합니다.

[2] #12 4.OA.B.4 $12$ 일을 "꽉 찬 한 주" 와 "남은 며칠" 로 쪼갭니다. $7$ 일은 한 바퀴 돌아 같은 요일로 돌아오니까 건너뛰어도 됩니다.

[3] #12 3.OA.D.9 $7$ 일 건너뛰기를 실행합니다. 금요일 $2$ 월 $13$ 일에서 정확히 $7$ 일 뒤로 가면 $2$ 월 $6$ 일, 역시 금요일입니다.

[4] #8 4.OA.A.3 이제 금요일 $2$ 월 $6$ 일에서 $2$ 월 $1$ 일까지 남은 $5$ 일을 거꾸로 셉니다. 요일을 뒤로: 금 → 목 → 수 → 화 → 월

[5] #12 4.OA.A.3 답을 읽습니다. $2$ 월 $1$ 일은 일요일입니다.

검토

합리성 확인: 이번엔 거꾸로 말고 앞으로 가서 확인해 봅시다. $2$ 월 $1$ 일이 일요일이면 $7$ 일 뒤인 $2$ 월 $8$ 일도 일요일이고, $12$ 일 뒤는 일요일 $+ 5$ 일 $=$ 금요일. 즉 $2$ 월 $13$ 일이 금요일이 됩니다. 문제 조건과 일치하므로 $2$ 월 $1$ 일 $=$ 일요일이 맞습니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): $2$ 월의 금요일을 차례로 적어 봅니다 — $13$ 일, $6$ 일, 그리고 한 주 더 앞으로 가면 "$-1$ 일" (즉 $1$ 월 $30$ 일)도 금요일이에요. "$-1$ 일" 이 금요일이라면 그 다음 날인 $0$ 일은 토요일, $1$ 일은 일요일. 그래서 $2$ 월 $1$ 일은 일요일, 답은 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.D.9 연산의 성질을 이용해 산술 규칙 찾고 설명하기 (요일이 $7$ 일마다 반복된다는 점을 인식해, $7$ 의 배수만큼 더하거나 빼도 요일이 바뀌지 않음을 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결(나머지가 있는 문제 포함) ($2$ 월 $1$ 일과 $13$ 일 사이의 간격을 $12$ 일로 세우고, 아는 금요일에서 거꾸로 가서 모르는 요일을 찾는 데 사용.)
4.OA.B.4 자연수의 약수와 배수 다루기(여기서는 나머지 있는 나눗셈) ($12 = 7 + 5$ — 한 주와 남은 $5$ 일 — 로 쪼개는 것은 $12 \bmod 7 = 5$ 와 같은 계산이라는 점을 사용.)

⭐ 꽉 찬 한 주는 공짜로 건너뛰고, $7$ 로 나눈 나머지 며칠만 요일을 바꿔요. 이 "나머지 $7$" 한 줄이면 달력 문제가 단숨에 풀립니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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