AMC 8 · 2002 · #5

학년 4 number-theory

modular-arithmeticdivisibility-rulespattern-recognition modular-arithmeticpattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticdivisibility-rules

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문제

Carlos Montado was born on Saturday, November 9, 2002. On what day of the week will Carlos be 706 days old?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Monday

(B)

Wednesday

(C)

Friday

(D)

Saturday

(E)

Sunday

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 카를로스는 $2002$ 년 $11$ 월 $9$ 일 토요일에 태어났습니다. 태어난 날을 $0$ 일째라고 하면, $706$ 일째는 무슨 요일일까요?

주어진 것: $0$ 일째(태어난 날)는 토요일; $706$ 일째의 요일을 구해야 한다; 선택지: (A) 월요일, (B) 수요일, (C) 금요일, (D) 토요일, (E) 일요일

구하는 것: 토요일에서 $706$ 일이 지난 뒤의 요일

이해

문제 재정리: 카를로스는 $2002$ 년 $11$ 월 $9$ 일 토요일에 태어났습니다. 태어난 날을 $0$ 일째라고 하면, $706$ 일째는 무슨 요일일까요?

주어진 것: $0$ 일째(태어난 날)는 토요일; $706$ 일째의 요일을 구해야 한다; 선택지: (A) 월요일, (B) 수요일, (C) 금요일, (D) 토요일, (E) 일요일

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

일주일은 길이 $7$ 의 반복 주기 — 도구 #5(패턴 찾기)의 가장 전형적인 신호입니다. 주기를 보는 순간, 답을 결정하는 것은 오직 $706 \div 7$ 의 나머지뿐임을 알 수 있습니다. $7$ 의 배수만큼은 어차피 다시 토요일로 돌아오니까요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 그 작업을 한 줄로 줄여 줍니다 — $706$ 대신 가까운 $7$ 의 배수 $700 = 7 \times 100$ 로 바꿔 한 번에 정리하고, 남은 작은 차이만 더해 주면 끝입니다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

주기에 이름을 붙입니다.
요일은 $7$ 일짜리 고리를 이루며 반복됩니다.
그래서 토요일에 $7$ 의 배수를 더하면 다시 토요일이 됩니다.
결국 우리가 알아야 할 것은 $706$ 을 $7$ 로 나눈 나머지 — 가능한 한 많은 "완전한 주" 를 빼낸 뒤 남는 일수입니다.

$$706 = 7q + r, \quad 0 \le r < 7$$

💡 길이 $7$ 의 주기를 알아채면 큰 일수 문제가 작은 나머지 문제로 줄어듭니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 2

더 쉬운 경우부터 풉니다.
$706$ 보다 작은 $7$ 의 배수 중 가장 가까운 수는 $700 = 7 \times 100$.
$700$ 일째는 태어난 날로부터 정확히 $100$ 주 뒤이므로 $0$ 일째와 같은 요일, 즉 토요일입니다.

$$700 = 7 \times 100 \;\Rightarrow\; 700 \text{ 일째} = \text{토요일}$$

💡 $706$ 대신 쉬운 $700$ 으로 바꾸면 남는 일수는 단 $6$ 일뿐입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

토요일에서 남은 $6$ 일을 한 칸씩 세어 봅니다.
$700$ 일(토) 다음 — $701$ 일(일), $702$ 일(월), $703$ 일(화), $704$ 일(수), $705$ 일(목), $706$ 일(금).

$$\text{토} \to \text{일} \to \text{월} \to \text{화} \to \text{수} \to \text{목} \to \text{금}$$

💡 고정된 토요일에서 출발해 요일 고리를 따라 여섯 번만 움직이면 됩니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.3 단계 4

답을 읽어냅니다.
$706$ 일째는 금요일, 즉 선택지 (C) 입니다.

$$706 \bmod 7 = 6 \;\Rightarrow\; \text{토} + 6 \text{ 일} = \text{금} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 주기에 필요한 정보는 나머지 $6$ 하나뿐입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 주기에 이름을 붙입니다. 요일은 $7$ 일짜리 고리를 이루며 반복됩니다. 그래서 토요일에 $7$ 의 배수를 더하면 다시 토요일이 됩니다. 결국

[2] #9 4.OA.A.3 더 쉬운 경우부터 풉니다. $706$ 보다 작은 $7$ 의 배수 중 가장 가까운 수는 $700 = 7 \times 100$. $700$ 일째는

[3] #5 4.OA.C.5 토요일에서 남은 $6$ 일을 한 칸씩 세어 봅니다. $700$ 일(토) 다음 — $701$ 일(일), $702$ 일(월), $703$ 일(화),

[4] #5 4.OA.A.3 답을 읽어냅니다. $706$ 일째는 금요일, 즉 선택지 (C) 입니다.

검토

합리성 확인: 반대 방향으로도 확인해 봅시다. $707 = 7 \times 101$ 이므로 $707$ 일째는 정확히 $101$ 주 뒤 — 다시 토요일. 토요일 하루 전은 금요일이므로 $706$ 일째도 금요일. $700$ 에서 출발하든 $707$ 에서 출발하든 같은 금요일이 나오는 것이 주기를 올바르게 사용했다는 신호입니다. 답 (C) 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 를 작은 규모로 적용: $706 \div 7 = 100$ 나머지 $6$. 요일 목록 "토, 일, 월, 화, 수, 목, 금" 을 토요일에서부터 여섯 칸 옮기면 금요일에 도착, 따라서 답은 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만들고, 규칙에 명시되지 않은 특징을 찾아내기 (요일이 길이 $7$ 의 주기로 반복된다는 규칙을 이용해 $706$ 일째를 $700$ 일째에서 짧게 이어진 경로로 환원.)
4.OA.A.3 나머지를 해석해야 하는 문제를 포함해 자연수로 표현된 다단계 문장제 해결 ($706$ 을 $7$ 로 나눠 얻은 나머지 $6$ 을 "토요일에서 앞으로 몇 칸 가야 하는지" 로 해석.)

⭐ 요일은 $7$ 일마다 반복되니까, "며칠 뒤에 무슨 요일?" 문제는 $7$ 로 나눈 나머지만 보면 됩니다. $706 \div 7$ 의 나머지는 $6$, 토요일에서 $6$ 칸 가면 금요일 — 답은 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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