AMC 8 · 2003 · #23
학년 4 pattern문제
In the pattern below, the cat moves clockwise through the four squares, and the mouse moves counterclockwise through the eight exterior segments of the four squares.
If the pattern is continued, where would the cat and mouse be after the 247th move?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 개의 단위 정사각형이 $2 \times 2$ 블록으로 놓여 있습니다. 고양이는 네 개의 안쪽 사각형을 시계 방향으로 한 칸씩 이동하고, 쥐는 바깥쪽 여덟 개의 변을 시계 반대 방향으로 한 칸씩 이동합니다. 둘 다 첫 번째 그림의 위치에서 출발할 때, $247$ 번 이동한 뒤의 위치를 나타낸 그림은 (A)–(E) 중 어느 것입니까?
주어진 것: 고양이는 $4$ 개의 사각형을 시계 방향으로 돕니다 — 한 바퀴는 $4$ 번 이동; 쥐는 바깥쪽 $8$ 개의 변을 시계 반대 방향으로 돕니다 — 한 바퀴는 $8$ 번 이동; 출발 위치는 문제의 첫 번째 그림과 같습니다; 선택지 (A)–(E) 는 고양이가 들어 있는 사각형과 쥐가 놓인 변의 조합을 보여주는 그림입니다
구하는 것: $247$ 번 이동한 뒤의 고양이와 쥐의 위치를 나타내는 그림 (A)–(E)
이해
문제 재정리: 네 개의 단위 정사각형이 $2 \times 2$ 블록으로 놓여 있습니다. 고양이는 네 개의 안쪽 사각형을 시계 방향으로 한 칸씩 이동하고, 쥐는 바깥쪽 여덟 개의 변을 시계 반대 방향으로 한 칸씩 이동합니다. 둘 다 첫 번째 그림의 위치에서 출발할 때, $247$ 번 이동한 뒤의 위치를 나타낸 그림은 (A)–(E) 중 어느 것입니까?
주어진 것: 고양이는 $4$ 개의 사각형을 시계 방향으로 돕니다 — 한 바퀴는 $4$ 번 이동; 쥐는 바깥쪽 $8$ 개의 변을 시계 반대 방향으로 돕니다 — 한 바퀴는 $8$ 번 이동; 출발 위치는 문제의 첫 번째 그림과 같습니다; 선택지 (A)–(E) 는 고양이가 들어 있는 사각형과 쥐가 놓인 변의 조합을 보여주는 그림입니다
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
고양이와 쥐는 각각 고정된 주기로 같은 길을 반복합니다 — 도구 #5(패턴 찾기)가 "반복 주기의 $247$ 번째 항 구하기"에 정확히 들어맞습니다. 두 주기의 길이가 다르므로(고양이 $4$, 쥐 $8$) 각 동물을 따로 더 쉬운 문제로 줄여(도구 #9), 한 바퀴 동안의 위치를 적어 두고 $247$ 을 주기로 나눈 나머지를 이용해 바로 이동 후의 위치를 찾습니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 그림과 비교해 일치하는 하나를 고릅니다.
실행 — 정답: A
4.OA.C.5 단계 1 - 고양이의 주기를 구합니다.
- 고양이는 네 사각형을 시계 방향으로 돌므로 $4$ 번 이동할 때마다 출발 칸으로 돌아옵니다.
- 따라서 $n$ 번 이동 후의 위치는 $n \bmod 4$ 번 이동 후의 위치와 같습니다.
💡 4학년 "반복되는 패턴 만들기" 그대로. 네 칸짜리 고리는 네 가지 상태가 반복됩니다.
4.OA.A.3 단계 2 $247$ 을 $4$ 로 나눈 나머지를 구해 고양이가 어느 사각형에 있는지 찾습니다.
💡 4학년 "나머지가 있는 나눗셈". $61$ 바퀴를 완전히 돌고 $3$ 칸을 더 갑니다.
4.OA.C.5 단계 3 - 고양이의 한 주기를 적어 보고 $3$ 번째 위치를 읽습니다.
- 시계 방향으로 한 바퀴 돌면서 각 이동 후의 칸을 적은 뒤, $3$ 번째 항이 우리가 찾는 위치입니다.
💡 $4$ 번마다 반복되므로 고리의 $3$ 번째 칸이 답이고, 그 칸은 오른쪽 아래 사각형입니다.
4.OA.C.5 단계 4 - 쥐의 주기도 같은 방식으로 구합니다.
- 쥐는 바깥쪽 $8$ 개의 변을 시계 반대 방향으로 돌므로 주기는 $8$ 이고, $n$ 번 이동 후의 위치는 $n \bmod 8$ 번 이동 후의 위치와 같습니다.
💡 블록 바깥쪽에 변이 여덟 개 있으므로 한 바퀴는 여덟 단계로 이뤄집니다.
4.OA.A.3 단계 5 $247$ 을 $8$ 로 나눈 나머지를 구해 쥐가 어느 변에 있는지 찾습니다.
💡 쥐는 $30$ 바퀴를 완전히 돈 뒤 $7$ 칸을 더 갑니다.
4.OA.C.5 단계 6 - 쥐의 한 주기를 적어 보고 $7$ 번째 위치를 읽습니다.
- 시계 반대 방향으로 여덟 개의 외부 변을 따라가면, 출발 변에서 $7$ 번째 변은 왼쪽 아래 사각형의 아래쪽 변입니다.
💡 $8$ 단계 고리의 $7$ 번째 자리 — 출발 변으로 돌아오기 바로 한 단계 전입니다.
4.OA.A.3 단계 7 - 구한 두 위치를 (A)–(E) 그림과 맞춰 봅니다.
- 고양이는 오른쪽 아래 사각형, 쥐는 왼쪽 아래 사각형의 아래쪽 변에 있어야 합니다.
- 두 조건을 모두 만족하는 그림은 하나뿐이고, 나머지는 고양이 위치나 쥐 위치, 또는 둘 다에서 어긋납니다.
💡 독립된 두 조건이 다섯 그림을 하나로 좁힙니다 — 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리.
4.OA.C.5 고양이의 주기를 구합니다. 고양이는 네 사각형을 시계 방향으로 돌므로 $4$ 번 이동할 때마다 출발 칸으로 돌아옵니다. 따라서 $n$ 번 이동 4.OA.A.3 $247$ 을 $4$ 로 나눈 나머지를 구해 고양이가 어느 사각형에 있는지 찾습니다. 4.OA.C.5 고양이의 한 주기를 적어 보고 $3$ 번째 위치를 읽습니다. 시계 방향으로 한 바퀴 돌면서 각 이동 후의 칸을 적은 뒤, $3$ 번째 항이 우리 4.OA.C.5 쥐의 주기도 같은 방식으로 구합니다. 쥐는 바깥쪽 $8$ 개의 변을 시계 반대 방향으로 돌므로 주기는 $8$ 이고, $n$ 번 이동 후의 위치는 4.OA.A.3 $247$ 을 $8$ 로 나눈 나머지를 구해 쥐가 어느 변에 있는지 찾습니다. 4.OA.C.5 쥐의 한 주기를 적어 보고 $7$ 번째 위치를 읽습니다. 시계 반대 방향으로 여덟 개의 외부 변을 따라가면, 출발 변에서 $7$ 번째 변은 왼쪽 4.OA.A.3 구한 두 위치를 (A)–(E) 그림과 맞춰 봅니다. 고양이는 오른쪽 아래 사각형, 쥐는 왼쪽 아래 사각형의 아래쪽 변에 있어야 합니다. 두 조건 검토
합리성 확인: 조금 더 큰 이동 횟수로 확인해 봅시다. $4$ 번 이동 후 고양이는 출발 칸으로 돌아오고, $8$ 번 이동 후 쥐도 출발 변으로 돌아옵니다. 따라서 $248 = 8 \times 31$ 번째 이동에서는 쥐가 출발 변으로 리셋되고, $244 = 4 \times 61$ 번째 이동에서는 고양이가 출발 칸으로 리셋됩니다. $247$ 은 쥐가 리셋되기 한 단계 전이고 고양이가 마지막으로 리셋된 후 세 단계 더 간 시점이므로, 우리가 구한 나머지 $7$ 과 $3$ 과 정확히 맞아떨어집니다. 이때 고양이는 오른쪽 아래 사각형, 쥐는 왼쪽 아래 사각형의 아래 변에 있고, 이는 (A) 의 그림과 일치합니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 만으로도 풀 수 있습니다. 다섯 그림 중 고양이가 오른쪽 아래 사각형에 있는 그림만 남기면 후보가 크게 줄고, 그 후보 중 쥐가 왼쪽 아래 사각형의 아래 변에 있는 그림은 하나뿐입니다. 나머지를 직접 구하지 않아도, 주기 분석이 가리키는 두 조건을 차례로 적용하면 답이 한 그림으로 좁혀집니다. AMC 8 객관식의 "선택지 대입" 전략 그대로입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 또는 모양 패턴 만들기 (고양이의 $4$ 단계 반복 패턴과 쥐의 $8$ 단계 반복 패턴을 찾고, 한 바퀴를 적어 둔 뒤 임의의 이동 후 위치를 읽어내는 데 사용.)4.OA.A.3나머지를 포함한 사칙연산 다단계 문제 해결 ($247 \bmod 4 = 3$ 과 $247 \bmod 8 = 7$ 을 나머지가 있는 나눗셈으로 구해 주기 목록과 맞추는 데 사용.)
⭐ 큰 이동 횟수도 반복 주기 안에서는 작은 나머지로 줄어듭니다. 고양이는 $4$ 번, 쥐는 $8$ 번마다 반복되므로 $247$ 은 고양이의 $3$ 번째 위치(오른쪽 아래)와 쥐의 $7$ 번째 위치(왼쪽 아래 사각형의 아래 변)로 줄어 (A) 가 됩니다.
⭐ 큰 이동 횟수도 반복 주기 안에서는 작은 나머지로 줄어듭니다. 고양이는 $4$ 번, 쥐는 $8$ 번마다 반복되므로 $247$ 은 고양이의 $3$ 번째 위치(오른쪽 아래)와 쥐의 $7$ 번째 위치(왼쪽 아래 사각형의 아래 변)로 줄어 (A) 가 됩니다.