AMC 8 · 2003 · #23

• 고양이의 주기를 구합니다.
• 고양이는 네 사각형을 시계 방향으로 돌므로 $4$ 번 이동할 때마다 출발 칸으로 돌아옵니다.
• 따라서 $n$ 번 이동 후의 위치는 $n \bmod 4$ 번 이동 후의 위치와 같습니다.

💡 4학년 "반복되는 패턴 만들기" 그대로. 네 칸짜리 고리는 네 가지 상태가 반복됩니다.

$247$ 을 $4$ 로 나눈 나머지를 구해 고양이가 어느 사각형에 있는지 찾습니다.

💡 4학년 "나머지가 있는 나눗셈". $61$ 바퀴를 완전히 돌고 $3$ 칸을 더 갑니다.

• 고양이의 한 주기를 적어 보고 $3$ 번째 위치를 읽습니다.
• 시계 방향으로 한 바퀴 돌면서 각 이동 후의 칸을 적은 뒤, $3$ 번째 항이 우리가 찾는 위치입니다.

💡 $4$ 번마다 반복되므로 고리의 $3$ 번째 칸이 답이고, 그 칸은 오른쪽 아래 사각형입니다.

• 쥐의 주기도 같은 방식으로 구합니다.
• 쥐는 바깥쪽 $8$ 개의 변을 시계 반대 방향으로 돌므로 주기는 $8$ 이고, $n$ 번 이동 후의 위치는 $n \bmod 8$ 번 이동 후의 위치와 같습니다.

💡 블록 바깥쪽에 변이 여덟 개 있으므로 한 바퀴는 여덟 단계로 이뤄집니다.

$247$ 을 $8$ 로 나눈 나머지를 구해 쥐가 어느 변에 있는지 찾습니다.

💡 쥐는 $30$ 바퀴를 완전히 돈 뒤 $7$ 칸을 더 갑니다.

• 쥐의 한 주기를 적어 보고 $7$ 번째 위치를 읽습니다.
• 시계 반대 방향으로 여덟 개의 외부 변을 따라가면, 출발 변에서 $7$ 번째 변은 왼쪽 아래 사각형의 아래쪽 변입니다.

💡 $8$ 단계 고리의 $7$ 번째 자리 — 출발 변으로 돌아오기 바로 한 단계 전입니다.

• 구한 두 위치를 (A)–(E) 그림과 맞춰 봅니다.
• 고양이는 오른쪽 아래 사각형, 쥐는 왼쪽 아래 사각형의 아래쪽 변에 있어야 합니다.
• 두 조건을 모두 만족하는 그림은 하나뿐이고, 나머지는 고양이 위치나 쥐 위치, 또는 둘 다에서 어긋납니다.

💡 독립된 두 조건이 다섯 그림을 하나로 좁힙니다 — 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리.