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AMC 8 · 2002 · #5

쉬운 모드 학년 4
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문제

카를로스 몬타도(Carlos Montado)는 토요일에 태어났습니다. 정확히는 2002년 11월 9일 토요일에 태어났어요. 이 날이 그의 0일째라고 합시다.

요일은 일, 월, 화, 수, 목, 금, 토 순으로 돌고 다시 일요일로 돌아갑니다. 하루가 지날 때마다 카를로스는 하루씩 나이를 먹습니다.

카를로스가 태어난 지 정확히 706일이 되는 날은 무슨 요일일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
Monday
(B)
Wednesday
(C)
Friday
(D)
Saturday
(E)
Sunday
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 카를로스는 $2002$ 년 $11$ 월 $9$ 일 토요일에 태어났습니다. 태어난 날을 $0$ 일째라고 하면, $706$ 일째는 무슨 요일일까요?

주어진 것: $0$ 일째(태어난 날)는 토요일; $706$ 일째의 요일을 구해야 한다; 선택지: (A) 월요일, (B) 수요일, (C) 금요일, (D) 토요일, (E) 일요일

구하는 것: 토요일에서 $706$ 일이 지난 뒤의 요일

이해

문제 재정리: 카를로스는 $2002$ 년 $11$ 월 $9$ 일 토요일에 태어났습니다. 태어난 날을 $0$ 일째라고 하면, $706$ 일째는 무슨 요일일까요?

주어진 것: $0$ 일째(태어난 날)는 토요일; $706$ 일째의 요일을 구해야 한다; 선택지: (A) 월요일, (B) 수요일, (C) 금요일, (D) 토요일, (E) 일요일

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

일주일은 길이 $7$ 의 반복 주기 — 도구 #5(패턴 찾기)의 가장 전형적인 신호입니다. 주기를 보는 순간, 답을 결정하는 것은 오직 $706 \div 7$ 의 나머지뿐임을 알 수 있습니다. $7$ 의 배수만큼은 어차피 다시 토요일로 돌아오니까요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 그 작업을 한 줄로 줄여 줍니다 — $706$ 대신 가까운 $7$ 의 배수 $700 = 7 \times 100$ 로 바꿔 한 번에 정리하고, 남은 작은 차이만 더해 주면 끝입니다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1
  • 주기에 이름을 붙입니다.
  • 요일은 $7$ 일짜리 고리를 이루며 반복됩니다.
  • 그래서 토요일에 $7$ 의 배수를 더하면 다시 토요일이 됩니다.
  • 결국 우리가 알아야 할 것은 $706$ 을 $7$ 로 나눈 나머지 — 가능한 한 많은 "완전한 주" 를 빼낸 뒤 남는 일수입니다.
$$706 = 7q + r, \quad 0 \le r < 7$$

💡 길이 $7$ 의 주기를 알아채면 큰 일수 문제가 작은 나머지 문제로 줄어듭니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 2
  • 더 쉬운 경우부터 풉니다.
  • $706$ 보다 작은 $7$ 의 배수 중 가장 가까운 수는 $700 = 7 \times 100$.
  • $700$ 일째는 태어난 날로부터 정확히 $100$ 주 뒤이므로 $0$ 일째와 같은 요일, 즉 토요일입니다.
$$700 = 7 \times 100 \;\Rightarrow\; 700 \text{ 일째} = \text{토요일}$$

💡 $706$ 대신 쉬운 $700$ 으로 바꾸면 남는 일수는 단 $6$ 일뿐입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3
  • 토요일에서 남은 $6$ 일을 한 칸씩 세어 봅니다.
  • $700$ 일(토) 다음 — $701$ 일(일), $702$ 일(월), $703$ 일(화), $704$ 일(수), $705$ 일(목), $706$ 일(금).
$$\text{토} \to \text{일} \to \text{월} \to \text{화} \to \text{수} \to \text{목} \to \text{금}$$

💡 고정된 토요일에서 출발해 요일 고리를 따라 여섯 번만 움직이면 됩니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.3 단계 4
  • 답을 읽어냅니다.
  • $706$ 일째는 금요일, 즉 선택지 (C) 입니다.
$$706 \bmod 7 = 6 \;\Rightarrow\; \text{토} + 6 \text{ 일} = \text{금} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 주기에 필요한 정보는 나머지 $6$ 하나뿐입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 주기에 이름을 붙입니다. 요일은 $7$ 일짜리 고리를 이루며 반복됩니다. 그래서 토요일에 $7$ 의 배수를 더하면 다시 토요일이 됩니다. 결국
[2] #9 4.OA.A.3 더 쉬운 경우부터 풉니다. $706$ 보다 작은 $7$ 의 배수 중 가장 가까운 수는 $700 = 7 \times 100$. $700$ 일째는
[3] #5 4.OA.C.5 토요일에서 남은 $6$ 일을 한 칸씩 세어 봅니다. $700$ 일(토) 다음 — $701$ 일(일), $702$ 일(월), $703$ 일(화),
[4] #5 4.OA.A.3 답을 읽어냅니다. $706$ 일째는 금요일, 즉 선택지 (C) 입니다.

검토

합리성 확인: 반대 방향으로도 확인해 봅시다. $707 = 7 \times 101$ 이므로 $707$ 일째는 정확히 $101$ 주 뒤 — 다시 토요일. 토요일 하루 전은 금요일이므로 $706$ 일째도 금요일. $700$ 에서 출발하든 $707$ 에서 출발하든 같은 금요일이 나오는 것이 주기를 올바르게 사용했다는 신호입니다. 답 (C) 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 를 작은 규모로 적용: $706 \div 7 = 100$ 나머지 $6$. 요일 목록 "토, 일, 월, 화, 수, 목, 금" 을 토요일에서부터 여섯 칸 옮기면 금요일에 도착, 따라서 답은 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만들고, 규칙에 명시되지 않은 특징을 찾아내기 (요일이 길이 $7$ 의 주기로 반복된다는 규칙을 이용해 $706$ 일째를 $700$ 일째에서 짧게 이어진 경로로 환원.)
  • 4.OA.A.3 나머지를 해석해야 하는 문제를 포함해 자연수로 표현된 다단계 문장제 해결 ($706$ 을 $7$ 로 나눠 얻은 나머지 $6$ 을 "토요일에서 앞으로 몇 칸 가야 하는지" 로 해석.)

⭐ 요일은 $7$ 일마다 반복되니까, "며칠 뒤에 무슨 요일?" 문제는 $7$ 로 나눈 나머지만 보면 됩니다. $706 \div 7$ 의 나머지는 $6$, 토요일에서 $6$ 칸 가면 금요일 — 답은 (C).

⭐ 요일은 $7$ 일마다 반복되니까, "며칠 뒤에 무슨 요일?" 문제는 $7$ 로 나눈 나머지만 보면 됩니다. $706 \div 7$ 의 나머지는 $6$, 토요일에서 $6$ 칸 가면 금요일 — 답은 (C).

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