AMC 8 · 2009 · #14

학년 6 rate-ratio

ratefraction-arithmeticmean-median-mode-range identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticrate

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Austin and Temple are $50$ miles apart along Interstate 35. Bonnie drove from Austin to her daughter's house in Temple, averaging $60$ miles per hour. Leaving the car with her daughter, Bonnie rode a bus back to Austin along the same route and averaged $40$ miles per hour on the return trip. What was the average speed for the round trip, in miles per hour?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 오스틴과 템플은 $50$ 마일 떨어져 있습니다. 보니는 오스틴에서 템플까지 $50$ 마일을 평균 시속 $60$ 마일로 운전해서 가고, 같은 길로 버스를 타고 평균 시속 $40$ 마일로 오스틴으로 돌아옵니다. 왕복 전체 $100$ 마일에 대한 평균 속력은 시속 몇 마일(mph)일까요?

주어진 것: 오스틴 $\leftrightarrow$ 템플 편도 거리 $= 50$ 마일; 갈 때(오스틴 $\to$ 템플) 평균 속력 $= 60$ mph; 올 때(템플 $\to$ 오스틴) 평균 속력 $= 40$ mph; 왕복 모두 같은 경로 $\Rightarrow$ 총 왕복 거리 $= 2 \times 50 = 100$ 마일; 선택지: (A) $46$, (B) $48$, (C) $50$, (D) $52$, (E) $54$ (mph)

구하는 것: 왕복 전체에 대한 평균 속력(mph)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

흔한 함정은 $60$ 과 $40$ 을 단순히 평균 내서 $50$ 이라고 답하는 것입니다 — 단위를 무시한 결과죠. 도구 #8(단위 살펴보기)이 중심을 잡아 줍니다: "mph"는 시간당 마일이므로, 옳은 평균 속력은 오직 $\dfrac{\text{총 마일}}{\text{총 시간}}$ 입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 여정을 두 구간으로 나눈 뒤 각 구간의 시간을 $\text{시간} = \text{거리} / \text{속력}$ 로 구해서 합치고, 총 거리에 나누면 됩니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.2 단계 1

가는 구간의 걸린 시간을 구합니다.
$50$ 마일을 시속 $60$ 마일로 가므로 시간은 거리를 속력으로 나눈 값입니다.

$$t_1 = \dfrac{50 \text{ mi}}{60 \text{ mph}} = \dfrac{5}{6} \text{ 시간}$$

💡 왕복을 두 구간으로 나누고 각 구간에 거리 $\div$ 속력을 쓰는 것은 4학년 거리·시간 문장제 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.2 단계 2

오는 구간도 같은 방식으로 계산합니다: $50$ 마일을 시속 $40$ 마일로 이동.

$$t_2 = \dfrac{50 \text{ mi}}{40 \text{ mph}} = \dfrac{5}{4} \text{ 시간}$$

💡 올 때가 더 오래 걸린다($\tfrac{5}{4} > \tfrac{5}{6}$) — 속력이 느리니 같은 거리라도 더 많은 시간이 든다는 점이 핵심입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

두 구간의 시간을 더해 총 시간을 구합니다.
분모를 $12$ 로 통일해서 더합니다.

$$T = \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} + \dfrac{15}{12} = \dfrac{25}{12} \text{ 시간}$$

💡 분모가 다른 분수의 덧셈을 공통분모로 처리하는 것은 5학년 분수 덧셈 표준입니다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 4

왕복 총 거리를 구합니다.
같은 $50$ 마일 길을 두 번 이동하므로 총 거리는 $2 \times 50 = 100$ 마일입니다.

$$D = 2 \times 50 = 100 \text{ mi}$$

💡 단위는 그대로 "마일" — 단순히 이동한 거리를 합한 것일 뿐입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 5

평균 속력의 정의를 적용합니다: 총 거리 $\div$ 총 시간.
$\tfrac{25}{12}$ 로 나누는 것은 $\tfrac{12}{25}$ 를 곱하는 것과 같습니다.

$$\overline{v} = \dfrac{D}{T} = \dfrac{100 \text{ mi}}{\tfrac{25}{12} \text{ 시간}} = 100 \times \dfrac{12}{25} = \dfrac{1200}{25} = 48 \text{ mph} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 총 마일과 총 시간으로부터 시속 마일(단위율) 을 구하는 것은 6학년 비율·비례 추론입니다.

[1] #7 4.MD.A.2 가는 구간의 걸린 시간을 구합니다. $50$ 마일을 시속 $60$ 마일로 가므로 시간은 거리를 속력으로 나눈 값입니다.

[2] #7 4.MD.A.2 오는 구간도 같은 방식으로 계산합니다: $50$ 마일을 시속 $40$ 마일로 이동.

[3] #7 5.NF.A.1 두 구간의 시간을 더해 총 시간을 구합니다. 분모를 $12$ 로 통일해서 더합니다.

[4] #8 4.MD.A.2 왕복 총 거리를 구합니다. 같은 $50$ 마일 길을 두 번 이동하므로 총 거리는 $2 \times 50 = 100$ 마일입니다.

[5] #8 6.RP.A.3 평균 속력의 정의를 적용합니다: 총 거리 $\div$ 총 시간. $\tfrac{25}{12}$ 로 나누는 것은 $\tfrac{12}{25}$ 를

검토

합리성 확인: 단순 평균 $\tfrac{60 + 40}{2} = 50$ mph 는 두 속력에 똑같은 "시간" 을 썼을 때만 성립합니다. 그런데 보니는 똑같은 "거리" 를 썼고, 느린 $40$ mph 구간이 더 오래 걸렸으므로 평균은 $50$ 아래로 내려갑니다. 답 $48$ mph 는 $50$ 보다 살짝 작아서 이 직관과 맞고, $40$ 과 $60$ 사이에 있으니 평균으로서도 타당합니다.

대안 접근: 도구 #9(공식 찾기): 같은 거리를 속력 $a$, $b$ 로 왕복할 때 평균 속력은 조화평균 $\dfrac{2ab}{a+b}$ 입니다. $a = 60$, $b = 40$ 을 대입하면 $\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \dfrac{4800}{100} = 48$ mph 로 답 (B) 와 일치합니다. 이 공식은 거리가 같을 때 "총 거리 $\div$ 총 시간" 계산이 정리된 형태이므로, 알아 두면 빠른 지름길이 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.2 거리, 시간, 액체의 부피, 돈을 포함한 문장제 해결 (각 구간의 걸린 시간을 거리 $\div$ 속력으로 계산하고 왕복 총 거리 $2 \times 50 = 100$ 마일을 구하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (두 구간 시간 $\tfrac{5}{6} + \tfrac{5}{4} = \tfrac{25}{12}$ 시간을 공통분모 $12$ 로 더할 때 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (평균 속력 $\overline{v} = \dfrac{\text{총 거리}}{\text{총 시간}} = \dfrac{100}{25/12} = 48$ mph 의 단위율을 구하는 데 사용.)

⭐ 평균 속력은 두 속력의 평균이 아니라 "총 마일 $\div$ 총 시간" — 이미 익숙한 6학년 비율 개념이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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