AMC 8 · 2009 · #25

학년 6 geometry-3d

surface-areafraction-arithmeticarea-rectanglesset-partition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: surface-areafraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

A one-cubic-foot cube is cut into four pieces by three cuts parallel to the top face of the cube. The first cut is $\frac{1}{2}$ foot from the top face. The second cut is $\frac{1}{3}$ foot below the first cut, and the third cut is $\frac{1}{17}$ foot below the second cut. From the top to the bottom the pieces are labeled A, B, C, and D. The pieces are then glued together end to end as shown in the second diagram. What is the total surface area of this solid in square feet?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$:rac{419}{51}$

(D)

$:rac{158}{17}$

(E)

:11

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변이 $1$ 피트인 정육면체를 윗면과 평행한 세 번의 절단으로 네 개의 납작한 슬랩 A, B, C, D 로 자릅니다. 위에서부터 높이는 각각 $\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{1}{3}$, $\tfrac{1}{17}$ 피트이고, D 는 남는 두께입니다. 네 슬랩을 D, A, B, C 순서로 바닥에 옆으로 나란히 붙여 놓을 때, 이 새 입체의 겉넓이(제곱피트)를 구하세요.

주어진 것: 원래 정육면체: $1 \times 1 \times 1$ 피트, 부피 $1$ ft$^3$; 절단면이 윗면과 평행하므로 각 슬랩의 밑면은 $1 \times 1$ 피트; 위에서부터의 높이: $h_A = \tfrac{1}{2}$, $h_B = \tfrac{1}{3}$, $h_C = \tfrac{1}{17}$ 피트; 네 슬랩의 높이 합이 $1$ 피트이므로 $h_D = 1 - (h_A + h_B + h_C)$; 최종 배치: 슬랩들이 D, A, B, C 순서로 나란히 놓이고, 이웃한 슬랩은 폭 $1$ 피트인 면에서 맞붙음; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $\tfrac{419}{51}$, (D) $\tfrac{158}{17}$, (E) $11$

구하는 것: 새 입체의 겉넓이(제곱피트)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #11 대칭·불변량 찾기

새 입체는 높이만 다른 네 개의 납작한 직육면체가 한 줄로 늘어선 모양입니다. 면을 하나씩 세지 말고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 겉면을 다섯 묶음 — 위, 아래, 앞, 뒤, 옆(계단) — 으로 나누어 각각 구한 뒤 더합니다. 도구 #1(그림 그리기) 이 이 묶음을 한눈에 보여 줍니다. 결정적으로 도구 #11(대칭·불변량 찾기) 이 큰 일을 합니다 — 앞면과 뒷면은 폭의 합이 $4$ 피트이고 네 슬랩의 높이 합이 $1$ 피트로 고정되므로, 까다로운 $h_D = \tfrac{11}{102}$ 값 없이도 각각 $1$ ft$^2$ 임을 바로 알 수 있습니다.

실행 — 정답: E

#11 대칭·불변량 찾기 5.NF.A.1 단계 1

네 슬랩의 높이 합이 원래 정육면체의 높이 $1$ 피트라는 불변량을 써서 $h_D$ 를 구합니다.
앞·뒷면 계산에는 이 값이 굳이 필요하지 않지만 옆면 계산에서 사용합니다.

$h_D = 1 - \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{17}\right) = 1 - \tfrac{51 + 34 + 6}{102} = \tfrac{11}{102}$ 피트

💡 분모가 서로 다른 분수($2, 3, 17$) 를 공통분모 $102$ 로 더하는 것은 5학년의 분수 덧셈 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.4 단계 2

새 입체의 겉면을 다섯 개의 작은 문제로 쪼갭니다 — (1) 위, (2) 아래, (3) 앞, (4) 뒤, (5) 양 끝과 슬랩 사이에 생기는 계단 모양 옆면.
각각 구해서 합산할 계획입니다.

$$\text{겉넓이} = \text{위} + \text{아래} + \text{앞} + \text{뒤} + \text{옆}$$

💡 입체 도형의 면을 묶어 겉넓이를 구하는 것은 6학년 "전개도와 겉넓이" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 3

윗면과 밑면.
각 슬랩은 원래 정육면체의 윗면·밑면을 그대로 가져갑니다 — 모두 $1 \times 1$ 피트 정사각형이고, 슬랩 네 개가 한 줄로 놓이므로 윗면도 네 개, 밑면도 네 개입니다.

$$\text{위} = 4 \times (1 \times 1) = 4 \text{ ft}^2,\quad \text{아래} = 4 \text{ ft}^2$$

💡 직사각형 넓이를 가로 $\times$ 세로 로 구하고 합동인 면들의 넓이를 더하는 것은 3학년 넓이 학습 그대로입니다.

#11 대칭·불변량 찾기 6.G.A.4 단계 4

앞면과 뒷면.
한 줄로 늘어선 슬랩들을 정면에서 보면, 폭 $1$ 피트인 직사각형 네 개가 옆으로 붙어 있고 그 높이 $h_D, h_A, h_B, h_C$ 의 합은 $1$ 피트입니다.
따라서 앞면 전체 넓이는 (높이 합) $\times 1 = 1$ ft$^2$ — 까다로운 개별 높이 값이 자동으로 사라집니다.
뒷면도 같습니다.

$$\text{앞} = 1 \times (h_A + h_B + h_C + h_D) = 1 \times 1 = 1 \text{ ft}^2,\quad \text{뒤} = 1 \text{ ft}^2$$

💡 네 높이의 합이 반드시 $1$ 이라는 "불변량" 을 잡으면 개별 높이 계산을 통째로 건너뛸 수 있습니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.4 단계 5

옆면.
배치 순서가 D, A, B, C 이므로 행에 수직으로 드러난 면은 — 왼쪽 끝(높이 $h_D$), 이웃한 슬랩 사이의 계단 세 개(높이 차 $|h_A - h_D|$, $|h_B - h_A|$, $|h_C - h_B|$), 오른쪽 끝(높이 $h_C$) — 총 다섯 조각이고, 모두 깊이 $1$ 피트입니다.

$$\text{옆} = 1 \cdot \bigl(h_D + |h_A - h_D| + |h_A - h_B| + |h_B - h_C| + h_C\bigr)$$

💡 옆에서 본 그림을 그리면 어떤 직사각형이 드러나는지 빠뜨리지 않고 셀 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 6

옆면의 각 직사각형 높이를 공통분모 $102$ 로 바꾸어 더합니다.
분자는 $11, 40, 17, 28, 6$ 이고, 합이 정확히 $102$ 가 됩니다.

$$\text{옆} = \tfrac{11}{102} + \tfrac{40}{102} + \tfrac{17}{102} + \tfrac{28}{102} + \tfrac{6}{102} = \tfrac{102}{102} = 1 \text{ ft}^2$$

💡 분모가 같은 분수 여러 개를 더하는 것은 5학년의 기본 분수 계산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 7

다섯 묶음을 모두 더해 겉넓이를 구합니다.

$$\text{겉넓이} = 4 + 4 + 1 + 1 + 1 = 11 \text{ ft}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 구한 부분 넓이를 더해 마무리하는 것은 3학년 넓이 문제의 마지막 단계입니다.

[1] #11 5.NF.A.1 네 슬랩의 높이 합이 원래 정육면체의 높이 $1$ 피트라는 불변량을 써서 $h_D$ 를 구합니다. 앞·뒷면 계산에는 이 값이 굳이 필요하지 않지

[2] #7 6.G.A.4 새 입체의 겉면을 다섯 개의 작은 문제로 쪼갭니다 — (1) 위, (2) 아래, (3) 앞, (4) 뒤, (5) 양 끝과 슬랩 사이에 생기는 계

[3] #7 3.MD.C.7 윗면과 밑면. 각 슬랩은 원래 정육면체의 윗면·밑면을 그대로 가져갑니다 — 모두 $1 \times 1$ 피트 정사각형이고, 슬랩 네 개가 한 줄

[4] #11 6.G.A.4 앞면과 뒷면. 한 줄로 늘어선 슬랩들을 정면에서 보면, 폭 $1$ 피트인 직사각형 네 개가 옆으로 붙어 있고 그 높이 $h_D, h_A, h_B

[5] #1 6.G.A.4 옆면. 배치 순서가 D, A, B, C 이므로 행에 수직으로 드러난 면은 — 왼쪽 끝(높이 $h_D$), 이웃한 슬랩 사이의 계단 세 개(높이

[6] #7 5.NF.A.1 옆면의 각 직사각형 높이를 공통분모 $102$ 로 바꾸어 더합니다. 분자는 $11, 40, 17, 28, 6$ 이고, 합이 정확히 $102$ 가

[7] #7 3.MD.C.7 다섯 묶음을 모두 더해 겉넓이를 구합니다.

검토

합리성 확인: 원래 정육면체의 겉넓이는 $6$ ft$^2$ 입니다. 자르고 재배치하는 과정에서 재료가 사라지지는 않고 "숨어 있던 면" 이 드러나기만 하므로 새 겉넓이는 적어도 $6$ 이상이어야 합니다 — 선택지 (A) 는 의심스러워집니다. 재배치를 하면 가로 절단면 $3$ 개가 "위면 $3$ 개 + 아래면 $3$ 개 = $6$ ft$^2$" 만큼 새로 드러나고, 슬랩 끼리 맞닿은 옆면 $3$ 곳의 넓이 약 $1$ ft$^2$ 가 사라지는 대신 "계단" 부분의 넓이가 비슷하게 더해져, 결국 $+5$ 의 변화가 생겨 $6 + 5 = 11$ ft$^2$ 이 됩니다. (E) 와 일치하고 나머지 선택지를 모두 배제할 수 있습니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기) 도 좋은 길입니다. 까다로운 높이 대신 단순한 두 슬랩(예: 높이 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}$) 로 같은 절차를 적용해 보면 $\text{위} + \text{아래} + \text{앞} + \text{뒤} + \text{옆} = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7$ 이 되고, 슬랩이 네 개일 때는 $4 + 4 + 1 + 1 + 1 = 11$ 이 됩니다. 즉 답은 슬랩 개수와 "단위 정육면체" 라는 조건에만 의존하고 개별 높이에는 무관합니다 — $\tfrac{1}{17}$ 같은 수는 함정이고, 답은 깔끔한 정수 $11$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈과 연결하기 (직사각형 면의 넓이를 가로 $\times$ 세로 로 구하고, 같은 모양 면들을 더해 윗면·밑면 합계를 계산하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($h_D = 1 - (\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{17}) = \tfrac{11}{102}$ 를 구하고, 옆면 분수들을 모아 $\tfrac{102}{102} = 1$ 임을 확인하는 데 사용.)
6.G.A.4 전개도로 입체도형을 나타내고 겉넓이 구하기 (한 줄로 놓인 슬랩 묶음을 3차원 도형으로 보고, 면 그룹(위·아래·앞·뒤·옆) 의 넓이 합으로 겉넓이를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "전개도와 겉넓이" 추론만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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