AMC 8 · 2009 · #7

학년 6 geometry-2d

coordinate-geometryarea-triangles coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

The triangular plot of ACD lies between Aspen Road, Brown Road and a railroad. Main Street runs east and west, and the railroad runs north and south. The numbers in the diagram indicate distances in miles. The width of the railroad track can be ignored. How many square miles are in the plot of land ACD?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

4.5

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 모양의 땅 $ACD$ 의 꼭짓점은 $A$, $C$, $D$ 입니다. $A$ 는 동서로 뻗은 Main Street 위에서 점 $B$ 기준 서쪽으로 $3$ 마일 떨어진 곳에 있고, $C$ 는 남북으로 뻗은 철길 위에서 $B$ 기준 북쪽으로 $3$ 마일, $D$ 는 다시 그 위의 $3$ 마일 떨어진 곳에 있습니다. 삼각형 $ACD$ 의 넓이를 평방마일 단위로 구하세요.

주어진 것: $AB = 3$ 마일 (Main Street 가 $A$ 와 $B$ 를 지나는 동서 방향 도로); $BC = 3$ 마일 ($B$, $C$, $D$ 를 지나는 남북 방향 철길); $CD = 3$ 마일 (철길 위에서 $D$ 는 $C$ 의 북쪽); Main Street $\perp$ 철길, 따라서 $\angle ABC = \angle ABD = 90^\circ$; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4.5$, (D) $6$, (E) $9$ (평방마일)

구하는 것: 삼각형 모양 땅 $ACD$ 의 넓이(평방마일)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

수직으로 만나는 두 도로가 등장하니, 사실상 좌표평면 문제입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 $B$ 를 원점, Main Street 을 $x$ 축, 철길을 $y$ 축에 두면 $A$, $C$, $D$ 모두 깔끔한 정수 좌표가 됩니다. $C$ 와 $D$ 가 둘 다 $y$ 축 위에 있어 변 $CD$ 가 수직이 되므로, $A$ 에서 $CD$ 까지의 수직 거리는 그대로 $AB$ — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이 문제를 "$CD$ 의 길이"와 "$A$ 에서 철길까지의 거리" 두 개의 작은 문제로 나누면 됩니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로는 검산도 됩니다: $\triangle ACD = \triangle ABD - \triangle ABC$.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

좌표를 잡습니다.
$B$ 를 원점, Main Street 을 $x$ 축, 철길을 $y$ 축에 놓으면 $A$ 는 $B$ 의 서쪽 $3$ 마일이므로 $A = (-3, 0)$, $C$ 는 $B$ 의 북쪽 $3$ 마일이므로 $C = (0, 3)$, $D$ 는 $C$ 의 북쪽 $3$ 마일이므로 $D = (0, 6)$ 입니다.

$$A = (-3, 0), \; C = (0, 3), \; D = (0, 6)$$

💡 교차점 $B$ 를 원점에 두는 순간 지도가 좌표평면이 됩니다 — 5학년 그래프 단원 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.8 단계 2

$\triangle ACD$ 의 밑변으로 $CD$ 를 잡습니다.
$C$ 와 $D$ 가 모두 철길($y$ 축) 위에 있으므로 $CD$ 는 수직 선분이고, 그 길이는 $y$ 좌표의 차입니다.

$$CD = 6 - 3 = 3 \text{ 마일}$$

💡 같은 수직선 위의 두 점 사이 거리는 $y$ 좌표의 차 — 6학년 좌표평면 거리 추론입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.6 단계 3

꼭짓점 $A$ 에서 밑변 $CD$ 까지 내린 수직 높이를 구합니다.
$CD$ 는 $y$ 축(직선 $x = 0$) 위에 있으므로, $A = (-3, 0)$ 에서 그 직선까지의 수직 거리는 $A$ 의 $x$ 좌표의 절댓값입니다.
이 값은 그림에서 선분 $AB$ 의 길이와 같습니다.

$$h = |-3| = 3 \text{ 마일}$$

💡 수직선까지의 거리는 $x$ 좌표 차의 절댓값 — 6학년 수직선 위의 절댓값 개념입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 4

삼각형 넓이 공식에 밑변 $CD = 3$ 과 높이 $h = 3$ 을 대입합니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이} = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \text{ 평방마일} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 밑변 곱하기 높이의 절반 — 6학년 삼각형 넓이 공식입니다.

[1] #1 5.G.A.1 좌표를 잡습니다. $B$ 를 원점, Main Street 을 $x$ 축, 철길을 $y$ 축에 놓으면 $A$ 는 $B$ 의 서쪽 $3$ 마일이므로

[2] #7 6.NS.C.8 $\triangle ACD$ 의 밑변으로 $CD$ 를 잡습니다. $C$ 와 $D$ 가 모두 철길($y$ 축) 위에 있으므로 $CD$ 는 수직 선

[3] #7 6.NS.C.6 꼭짓점 $A$ 에서 밑변 $CD$ 까지 내린 수직 높이를 구합니다. $CD$ 는 $y$ 축(직선 $x = 0$) 위에 있으므로, $A = (-3

[4] #1 6.G.A.1 삼각형 넓이 공식에 밑변 $CD = 3$ 과 높이 $h = 3$ 을 대입합니다.

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 확인해 봅니다. 삼각형 $ABD$ 는 꼭짓점이 $(-3,0)$, $(0,0)$, $(0,6)$ 인 직각삼각형이라 두 직각변이 $3$ 과 $6$, 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$ 평방마일 — 가장 큰 선택지 (E) 와 일치합니다. $\triangle ACD$ 는 그 큰 삼각형에서 아래쪽 $\triangle ABC$ (직각변 $3$, $3$, 넓이 $4.5$) 를 떼어낸 모양이므로 $9 - 4.5 = 4.5$ 평방마일이 되어야 합니다. 답 (C) 와 정확히 일치하고, $3$ 과 $6$ 사이에 들어가는 값이라 큰 삼각형의 위쪽 절반 크기로 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기). $\triangle ACD$ 를 직접 구하지 말고, 큰 직각삼각형 $\triangle ABD$ 에서 작은 직각삼각형 $\triangle ABC$ 를 빼는 방식입니다. $\triangle ABD$ 의 두 직각변은 $AB = 3$, $BD = 6$, 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 6 = 9$. $\triangle ABC$ 의 두 직각변은 $AB = 3$, $BC = 3$, 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3 = 4.5$. 따라서 $\triangle ACD = 9 - 4.5 = 4.5$ 평방마일 — 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.1 수직으로 만나는 두 수직선(축)을 사용해 좌표계를 정의 (수직으로 교차하는 Main Street 과 철길을 각각 $x$, $y$ 축으로 모델링하고 $B$ 를 원점에 두어 $A$, $C$, $D$ 의 좌표를 부여.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 한 점으로 이해; 좌표평면으로 확장 ($|-3| = 3$ 을 이용해 $A = (-3, 0)$ 에서 $y$ 축(직선 $x = 0$)까지의 수직 거리를 구함.)
6.NS.C.8 좌표평면에 점을 표시하여 실생활 문제 해결 ($y$ 축 위의 두 점 $C = (0,3)$ 와 $D = (0,6)$ 사이의 거리 $CD = 6 - 3 = 3$ 을 구함.)
6.G.A.1 삼각형을 직사각형으로 합성하거나 작은 삼각형으로 분해하여 넓이 구하기 ($\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이} = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$ 평방마일을 적용해 $\triangle ACD$ 의 넓이를 구함.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 좌표평면 넓이만 알면 풀려요 — 한 변을 밑변으로 잡고, 반대쪽 꼭짓점까지의 수직 거리를 재서 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 에 넣으면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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