AMC 8 · 2009 · #8

학년 6 geometry-2d

area-rectanglespercentageratio-proportion easier-related-problem ↑ 선수 지식: area-rectanglespercentage

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The length of a rectangle is increased by $10\%$ percent and the width is decreased by $10\%$ percent. What percent of the old area is the new area?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

101

(E)

110

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형의 가로(length)가 $10\%$ 늘어나고 세로(width)가 $10\%$ 줄어들었습니다. 새 넓이는 원래 넓이의 몇 퍼센트일까요?

주어진 것: 원래 직사각형의 가로 $= L$, 세로 $= W$, 원래 넓이 $= L \times W$; 새 가로는 $L$보다 $10\%$ 크다; 새 세로는 $W$보다 $10\%$ 작다; 선택지: (A) $90$, (B) $99$, (C) $100$, (D) $101$, (E) $110$

구하는 것: 원래 넓이에 대한 새 넓이의 비율(퍼센트)

이해

문제 재정리: 직사각형의 가로(length)가 $10\%$ 늘어나고 세로(width)가 $10\%$ 줄어들었습니다. 새 넓이는 원래 넓이의 몇 퍼센트일까요?

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기

답은 직사각형의 실제 크기에 의존하지 않으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 $L$ 과 $W$ 를 친한 숫자 — $L = W = 10$ — 으로 바꿔서 두 넓이를 직접 계산하면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 시각화 용도입니다: $10 \times 10$ 직사각형과 새 $11 \times 9$ 직사각형을 나란히 그려서 넓이를 칸으로 비교합니다. 대수(도구 #13) 를 꺼낼 필요 없이, $+10\%$ 와 $-10\%$ 가 왜 상쇄되지 않는지 한눈에 보입니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.MD.A.3 단계 1

친한 수를 고릅니다.
$L = 10$, $W = 10$ 으로 놓으면 원래 직사각형은 $10 \times 10$ 정사각형이 됩니다.
원래 넓이는 곧바로 읽힙니다.

$$A_{\text{old}} = 10 \times 10 = 100$$

💡 원래 넓이를 $100$ 으로 맞춘 건 의도된 작전입니다 — 마지막 답이 "퍼센트" 로 나오므로 새 넓이 자체가 곧 답이 됩니다.

#1 그림 그리기 6.RP.A.3 단계 2

각 변에 퍼센트 변화를 적용합니다.
$10$ 의 $10\%$ 는 $1$ 이므로 새 가로는 $10 + 1 = 11$, 새 세로는 $10 - 1 = 9$ 입니다.

$$L_{\text{new}} = 11, \quad W_{\text{new}} = 9$$

💡 원래의 $10 \times 10$ 정사각형 옆에 새 $11 \times 9$ 직사각형을 그려 봅니다 — 한 변은 살짝 길어지고, 다른 변은 살짝 짧아졌습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.MD.A.3 단계 3

새 변의 길이로 새 넓이를 바로 계산합니다.

$$A_{\text{new}} = 11 \times 9 = 99$$

💡 $11 \times 9$ 격자는 단위정사각형 $99$ 개로 이루어져 있어, 두 변이 $1$ 씩만 변했는데도 원래 $100$ 보다 $1$ 칸이 줄어듭니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 4

새 넓이를 원래 넓이에 대한 퍼센트로 나타냅니다.
원래 넓이가 정확히 $100$ 이므로, 새 넓이 $99$ 자체가 이미 퍼센트 값입니다.

$$\dfrac{A_{\text{new}}}{A_{\text{old}}} = \dfrac{99}{100} = 99\% \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $L = W = 10$ 을 고른 단 하나의 이유는 마지막 환산을 공짜로 만들기 위해서였습니다.

[1] #9 4.MD.A.3 친한 수를 고릅니다. $L = 10$, $W = 10$ 으로 놓으면 원래 직사각형은 $10 \times 10$ 정사각형이 됩니다. 원래 넓이는

[2] #1 6.RP.A.3 각 변에 퍼센트 변화를 적용합니다. $10$ 의 $10\%$ 는 $1$ 이므로 새 가로는 $10 + 1 = 11$, 새 세로는 $10 - 1 =

[3] #9 4.MD.A.3 새 변의 길이로 새 넓이를 바로 계산합니다.

[4] #9 6.RP.A.3 새 넓이를 원래 넓이에 대한 퍼센트로 나타냅니다. 원래 넓이가 정확히 $100$ 이므로, 새 넓이 $99$ 자체가 이미 퍼센트 값입니다.

검토

합리성 확인: 변화 폭이 작습니다 — 한 변은 $10\%$ 늘고, 다른 변은 $10\%$ 줄었으니 넓이는 $100\%$ 근처여야 합니다. $90\%$ 와 $110\%$ 는 너무 극단적이고, $100\%$ 는 두 변화가 정확히 상쇄된다는 뜻인데(실제로는 커진 변이 더 작은 변과 곱해지므로 상쇄되지 않습니다), $101\%$ 는 넓이가 늘었다는 뜻입니다. 결국 답은 $100\%$ 바로 아래인 $99\%$ — (B) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #13(대수 사용하기) 으로 임의의 직사각형에 대해 일반화할 수 있습니다: $A_{\text{new}} = (1.1 L)(0.9 W) = (1.1 \times 0.9) L W = 0.99 \, A_{\text{old}}$. $1.1 \times 0.9 = 0.99$ 는 $L, W$ 값과 무관하므로 $A_{\text{new}}$ 는 언제나 $A_{\text{old}}$ 의 $99\%$ — 더 쉬운 문제로 얻은 답이 그대로 일반화됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.3 직사각형의 넓이와 둘레 공식을 적용 (가로 $\times$ 세로로 원래 넓이 $10 \times 10 = 100$ 과 새 넓이 $11 \times 9 = 99$ 를 계산하는 데 사용.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (대수적 검산에서 일반 결과 $1.1 \times 0.9 = 0.99$ 의 소수 곱셈을 수행.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($10\%$ 증가와 $10\%$ 감소를 새 변의 길이 $11$, $9$ 로 변환하고, 넓이 비 $99/100$ 을 퍼센트로 표현.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 퍼센트 추론과, $L = W = 10$ 을 고르면 원래 넓이가 정확히 $100$ 이 돼서 답이 저절로 나오는 4학년 식의 영리한 작전만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기