AMC 8 · 2010 · #20

• 첫 번째 작은 문제: 두 비율이 모두 자연수 인원이 되는 가장 작은 전체 인원 $T$ 를 찾습니다.
• $\tfrac{2}{5}T$ 가 자연수이려면 $T$ 가 $5$ 의 배수, $\tfrac{3}{4}T$ 가 자연수이려면 $T$ 가 $4$ 의 배수여야 합니다.
• 가장 작은 그러한 $T$ 는 $\text{lcm}(5,4) = 20$ 입니다.

💡 "먼저 방 크기로 어떤 수가 허용되는지" 만 떼어 내는 게 도구 #7 의 동작이고, 그 답을 주는 게 6학년 정수론의 최소공배수(LCM)입니다.

• 두 번째 작은 문제: $T = 20$ 일 때 장갑 인원과 모자 인원을 셉니다.
• $20$ 의 $\tfrac{2}{5}$ 가 장갑, $20$ 의 $\tfrac{3}{4}$ 가 모자입니다.

💡 "전체의 몇 분의 몇" 을 곱셈으로 바꾸는 것은 5학년 분수 문장제 기술이며, 두 원에 각각 따로 적용합니다.

• 벤 다이어그램을 그립니다.
• $20$ 명짜리 방 안에 장갑 원($8$ 명) 과 모자 원($15$ 명) 이 겹치도록 그리고, 교집합(둘 다 착용)을 $x$, 장갑만을 $8 - x$, 모자만을 $15 - x$ 로 둡니다.
• 방 안 사람은 두 원의 합집합에 속하거나 둘 다에 속하지 않거나이므로, 네 영역(장갑만, 둘 다, 모자만, 둘 다 아님)의 합은 $20$ 이어야 합니다.

💡 도구 #12 는 "둘 다" 를 가운데 라벨이 있는 영역으로 바꿔 주고, 네 영역과 방 전체를 잇는 식 한 줄을 쓸 수 있게 해 줍니다.

• 극단적 경우의 발상을 적용합니다.
• 교집합 $x$ 를 최소로 만들려면 가능한 한 많은 사람을 "장갑만" 과 "모자만" 으로 *밀어내야* 합니다.
• 가장 빡빡한 조건은 장갑·모자 자리 $8 + 15 = 23$ 개를 $20$ 명짜리 방이 채워야 한다는 점이고, 그 차이 $23 - 20 = 3$ 명은 어쩔 수 없이 두 가지를 동시에 착용해야 합니다.
• 식으로는, 벤 식의 "둘 다 아님" 을 $0$ 으로 두고 $x$ 를 푸는 것과 같습니다.

💡 "가능한 한 작게" $=$ 다른 영역을 극단까지 늘려 보기 — 정확히 도구 #11 입니다. 대수적으로는 포함-배제 항등식 $|G \cap H| = |G| + |H| - |G \cup H|$ 를 $|G \cup H|$ 가 최대일 때 푸는 것과 같습니다.

• $x = 3$ 을 선택지에 맞춰 보고 나머지를 지웁니다.
• $3$ 은 (A) 에 해당하고, (B) $5$, (C) $8$, (D) $15$, (E) $20$ 은 모두 방금 구한 강제 최소값보다 큽니다 — 그래서 "가능한 *최소*" 가 될 수 없습니다.
• 방 크기를 $T = 40$ 처럼 $20$ 의 더 큰 배수로 늘리면 모든 영역이 같은 배수로 커져 최소 교집합 비율은 똑같으므로, $T = 20$ 이 이미 최소 인원을 실현합니다.

💡 방을 두 배($T = 40$) 로 키워도 모든 영역이 두 배가 되어 $20$ 짜리 방의 최소값을 이길 수 없다는 확인이 도구 #11 의 "정말 극단에 닿았는가" 후속 점검입니다.