AMC 8 · 2010 · #22

학년 6 arithmeticnumber-theory

digit-decompositionplace-valueunits-digit-trackinglinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: digit-decompositionplace-value

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 세 자리 수의 백의 자리 숫자가 일의 자리 숫자보다 $2$ 큽니다. 이 세 자리 수의 자릿수 순서를 뒤집어 새 수를 만들고, 원래 수에서 뒤집은 수를 뺀 값을 구합니다. 그 결과의 일의 자리 숫자는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 백의 자리 숫자가 일의 자리 숫자보다 정확히 $2$ 큰 세 자리 수를 하나 생각합니다. 이 수의 숫자 순서를 뒤집어 새로운 수를 만들고, 원래 수에서 뒤집은 수를 뺍니다. 이렇게 얻은 차의 일의 자리 숫자는 얼마일까요?

주어진 것: 세 자리 수의 자릿수를 백 $h$, 십 $t$, 일 $u$ 로 둠; 자릿수 사이 조건: $h = u + 2$; 숫자 순서를 뒤집어 새 수를 만든다(새 백의 자리 $= u$, 새 일의 자리 $= h$); (원래 수) $-$ (뒤집은 수) 를 계산함; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $8$

구하는 것: (원래 수) $-$ (뒤집은 수) 의 일의 자리 숫자

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #13 대수로 바꾸기

문제는 하나의 수가 아니라 조건을 만족하는 세 자리 수 전체를 다루므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 가 자연스럽습니다 — 조건을 만족하는 구체적인 수를 두세 개 골라서 직접 빼 보면 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 매번 일의 자리 숫자가 같게 나오는지 확인하면, 어떤 수를 골라도 답이 같음을 알 수 있습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 는 자릿값 전개 ($100h + 10t + u$) 로 패턴의 이유를 확정하는 용도로 마지막에 사용합니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.4 단계 1

조건 $h = u + 2$ 를 만족하는 가장 단순한 예부터 시도합니다.
$u = 0$, $t = 0$, $h = 2$ 면 원래 수는 $200$, 뒤집은 수는 $002 = 2$ 입니다.

$$200 - 002 = 198$$

💡 추상적인 자릿수 대신 가장 작은 합법적인 수로 바꿔서 직접 빼 보는 것은 4학년 "여러 자리 수 뺄셈" 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 5.OA.B.3 단계 2

다른 예로 일의 자리 숫자가 정말 항상 같게 나오는지 확인합니다.
$u = 3$, $t = 5$, $h = 5$ 라면 원래 수는 $553$, 뒤집은 수는 $355$ 입니다.

$$553 - 355 = 198$$

💡 같은 결과가 또 나옵니다. 도구 #5(패턴 찾기) 의 "$h - u = 2$ 이면 차는 항상 $198$" 라는 가설을 강하게 뒷받침합니다 — 5학년 "패턴과 관계 분석" 단계.

#5 패턴 찾기 5.OA.B.3 단계 3

우연이 아님을 확실히 하려고 하나만 더 시도합니다.
$u = 5$, $t = 9$, $h = 7$ 이면 원래 수 $795$, 뒤집은 수 $597$.

$$795 - 597 = 198$$

💡 출발 수가 셋 다 달랐는데 차이는 모두 $198$. 패턴이 진짜라는 결론.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 4

이유를 확정하기 위해 한 줄짜리 대수로 마무리합니다.
원래 수는 $100h + 10t + u$, 뒤집은 수는 $100u + 10t + h$ 이고, 두 식을 빼면 십의 자리가 약분되고 나머지가 인수분해됩니다.

$$(100h + 10t + u) - (100u + 10t + h) = 99h - 99u = 99(h - u) = 99 \cdot 2 = 198$$

💡 자릿수를 문자로 적어 식을 세우는 것은 6학년 "문자가 들어간 식" 표준이며, 왜 $t$ 가 결과에 영향을 주지 않는지(십의 자리 끼리 빠지므로) 도 함께 설명해 줍니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.A.2 단계 5

차 $198$ 의 일의 자리 숫자를 읽어냅니다.

$198$ 의 일의 자리 $= 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$

💡 여러 자리 수에서 일의 자리 숫자를 찾는 것은 4학년 자릿값 기초 기술.

[1] #9 4.NBT.B.4 조건 $h = u + 2$ 를 만족하는 가장 단순한 예부터 시도합니다. $u = 0$, $t = 0$, $h = 2$ 면 원래 수는 $200$,

[2] #5 5.OA.B.3 다른 예로 일의 자리 숫자가 정말 항상 같게 나오는지 확인합니다. $u = 3$, $t = 5$, $h = 5$ 라면 원래 수는 $553$, 뒤

[3] #5 5.OA.B.3 우연이 아님을 확실히 하려고 하나만 더 시도합니다. $u = 5$, $t = 9$, $h = 7$ 이면 원래 수 $795$, 뒤집은 수 $597

[4] #13 6.EE.A.2 이유를 확정하기 위해 한 줄짜리 대수로 마무리합니다. 원래 수는 $100h + 10t + u$, 뒤집은 수는 $100u + 10t + h$ 이고

[5] #5 4.NBT.A.2 차 $198$ 의 일의 자리 숫자를 읽어냅니다.

검토

합리성 확인: 출발 수를 $200$, $553$, $795$ 로 전혀 다르게 골랐는데도 차이는 모두 정확히 $198$ 이 나왔고, 대수 단계의 $99(h - u)$ 가 그 이유를 설명해 줍니다 — 조건 $h - u = 2$ 가 차를 $99 \times 2 = 198$ 로 못박기 때문에 십의 자리가 무엇이든 결과는 같습니다. $198$ 의 일의 자리 숫자 $8$ 은 선택지 (E) 와 일치하며, $99$ 의 배수가 $8$ 로 끝나는 경우는 (E) 뿐이라 답이 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 도 가능합니다. 세 자리 수에서 뒤집은 수를 뺀 값은 항상 $99$ 의 배수 ($0, 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891$) 이고, 이들의 일의 자리는 차례로 $0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$ 입니다. $h - u = 2$ 이므로 차는 $99 \times 2 = 198$, 일의 자리는 $8$ — (A)~(D) 가 모두 한 번에 지워집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 여러 자리 수를 십진 자릿값으로 읽고 쓰기 (차이 $198$ 에서 일의 자리 숫자 $8$ 을 읽어내는 기본 자릿값 작업.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (구체적인 예 $200 - 2$, $553 - 355$, $795 - 597$ 의 세 자리 뺄셈 수행.)
5.OA.B.3 두 수열 패턴을 생성하고 관계 찾기 ($h = u + 2$ 를 만족하는 여러 예가 모두 같은 차 $198$ 을 만든다는 사실로부터 일의 자리 숫자가 고정됨을 관찰.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산 (원래 수를 $100h + 10t + u$, 뒤집은 수를 $100u + 10t + h$ 로 적고 차를 $99(h - u)$ 로 정리하는 단계.)

⭐ "자릿수가 ~인 수" 같은 추상 문제는, 조건을 만족하는 구체적인 수 두세 개를 직접 넣어 보는 도구 #9 만으로도 답이 보이는 경우가 많아요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기