AMC 8 · 2011 · #20
학년 8 geometry-2d문제
사각형 는 사다리꼴이고, , , , 높이는 입니다. 이 사다리꼴의 넓이는 얼마인가요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 평행한 두 변은 $AB = 50$(윗변)과 $CD$(아랫변)이고, 빗변(다리)은 $AD = 15$, $BC = 20$, 두 평행변 사이의 높이는 $12$ 입니다. 이 사다리꼴의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 윗변 $AB = 50$; 왼쪽 다리 $AD = 15$; 오른쪽 다리 $BC = 20$; 높이($AB$ 와 $CD$ 사이) $= 12$; 선택지: (A) $600$, (B) $650$, (C) $700$, (D) $750$, (E) $800$
구하는 것: 사다리꼴 $ABCD$ 의 넓이
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 평행한 두 변은 $AB = 50$(윗변)과 $CD$(아랫변)이고, 빗변(다리)은 $AD = 15$, $BC = 20$, 두 평행변 사이의 높이는 $12$ 입니다. 이 사다리꼴의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 윗변 $AB = 50$; 왼쪽 다리 $AD = 15$; 오른쪽 다리 $BC = 20$; 높이($AB$ 와 $CD$ 사이) $= 12$; 선택지: (A) $600$, (B) $650$, (C) $700$, (D) $750$, (E) $800$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
그림은 이미 주어져 있지만, 핵심 동작 — $A$ 와 $B$ 에서 $CD$ 로 수선을 내리는 것 — 은 직접 그려 넣어야 합니다. 이것이 도구 #1(그림 그리기)의 역할이에요: 보조선을 더해 구조가 드러나게 하는 거죠. 두 수선을 그리면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 작동합니다. 사다리꼴이 왼쪽 직각삼각형(다리 $12$ 와 $a$, 빗변 $15$), 가운데 직사각형(가로 $AB = 50$), 오른쪽 직각삼각형(다리 $12$ 와 $b$, 빗변 $20$)으로 쪼개지고, 각 조각은 따로 쉽게 풀립니다. 마지막에 $CD = a + 50 + b$ 로 합치면 끝입니다. 대수(도구 #13)는 필요 없습니다.
실행 — 정답: D
4.G.A.2 단계 1 - $A$ 에서 $CD$ 로 수선을 내려 발을 $X$ 라 하고, $B$ 에서 $CD$ 로 수선을 내려 발을 $Y$ 라 합시다.
- 두 수선의 길이는 모두 $12$(높이)입니다.
- 이로써 사다리꼴이 세 조각 — 왼쪽 직각삼각형 $ADX$, 직사각형 $ABYX$, 오른쪽 직각삼각형 $BCY$ — 로 나뉩니다.
💡 $ABYX$ 가 직사각형(두 쌍의 평행변, 네 직각)임을 알아채는 것은 4학년 "이차원 도형 분류" 그대로이고, 덕분에 $XY = 50$ 을 공짜로 얻습니다.
8.G.B.7 단계 2 - 왼쪽 직각삼각형 $ADX$ 에 피타고라스 정리를 씁니다.
- 두 다리는 높이 $AX = 12$ 와 모르는 가로 조각 $DX = a$ 이고, 빗변은 사다리꼴의 다리 $AD = 15$ 입니다.
💡 익숙한 $9, 12, 15$ 직각삼각형 — $3, 4, 5$ 의 $3$ 배입니다. 도구 #7 이 사다리꼴 하나를 친숙한 직각삼각형으로 바꿔 줬어요.
8.G.B.7 단계 3 - 오른쪽 직각삼각형 $BCY$ 에 같은 작업을 합니다.
- 두 다리는 $BY = 12$ 와 $YC = b$, 빗변은 $BC = 20$ 입니다.
💡 또 하나의 익숙한 직각삼각형: $12, 16, 20$ 은 $3, 4, 5$ 의 $4$ 배입니다.
4.G.A.2 단계 4 - 가로 세 조각을 더해서 아랫변을 구합니다.
- $CD = DX + XY + YC = a + 50 + b$.
💡 직사각형의 가로 $+$ 두 삼각형의 다리로 아랫변을 다시 조립하는 것이 작은 문제로 쪼개기의 후반부입니다.
6.G.A.1 단계 5 사다리꼴 넓이 공식에 $b_1 = AB = 50$, $b_2 = CD = 75$, 높이 $h = 12$ 를 대입합니다.
💡 $\tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)h$ 는 사다리꼴을 삼각형과 직사각형으로 분해해서 유도할 수 있는 6학년 "분해로 넓이 구하기" 표준입니다.
4.G.A.2 $A$ 에서 $CD$ 로 수선을 내려 발을 $X$ 라 하고, $B$ 에서 $CD$ 로 수선을 내려 발을 $Y$ 라 합시다. 두 수선의 길이는 모 8.G.B.7 왼쪽 직각삼각형 $ADX$ 에 피타고라스 정리를 씁니다. 두 다리는 높이 $AX = 12$ 와 모르는 가로 조각 $DX = a$ 이고, 빗변은 8.G.B.7 오른쪽 직각삼각형 $BCY$ 에 같은 작업을 합니다. 두 다리는 $BY = 12$ 와 $YC = b$, 빗변은 $BC = 20$ 입니다. 4.G.A.2 가로 세 조각을 더해서 아랫변을 구합니다. $CD = DX + XY + YC = a + 50 + b$. 6.G.A.1 사다리꼴 넓이 공식에 $b_1 = AB = 50$, $b_2 = CD = 75$, 높이 $h = 12$ 를 대입합니다. 검토
합리성 확인: 세 조각의 넓이를 직접 더해서 확인합니다. 왼쪽 삼각형: $\tfrac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$. 가운데 직사각형: $50 \times 12 = 600$. 오른쪽 삼각형: $\tfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96$. 합 $= 54 + 600 + 96 = 750$ 으로 공식의 결과 (D) 와 일치합니다. 크기 감각으로도 사다리꼴 넓이는 $50 \times 12 = 600$ 보다 크고 $75 \times 12 = 900$ 보다 작아야 하는데, $750$ 은 그 사이에 잘 들어옵니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 확인해 봅시다. 넓이 $= \tfrac{1}{2}(50 + CD)(12) = 6(50 + CD)$ 이므로 각 선택지는 $CD$ 값을 지정합니다. (A) $600 \Rightarrow CD = 50$ ($a = b = 0$ 이라야 하는데 $AD \ne BC$ 라 불가); (B) $650 \Rightarrow CD \approx 58.3$ (정수 아님); (C) $700 \Rightarrow CD \approx 66.7$; (D) $750 \Rightarrow CD = 75$ ✓ ($9 + 50 + 16$ 과 일치); (E) $800 \Rightarrow CD \approx 83.3$. 가로 조각이 정수로 떨어지는 것은 (D) 뿐이라 결론이 같습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.G.A.2평행선·수직선의 유무로 이차원 도형 분류 (수선 두 개를 내린 뒤 $ABYX$ 가 직사각형임을 알아내어 $XY = AB = 50$ 을 얻고, 사다리꼴의 옆 조각들을 명명하는 데 사용.)8.G.B.7피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 구하기 (왼쪽 삼각형에서 $a^2 + 12^2 = 15^2 \Rightarrow a = 9$ 을, 오른쪽 삼각형에서 $b^2 + 12^2 = 20^2 \Rightarrow b = 16$ 을 구하는 데 사용.)6.G.A.1직각삼각형·특수 사각형·다각형을 직사각형으로 구성하거나 삼각형으로 분해해 넓이 구하기 (사다리꼴 넓이 $\tfrac{1}{2}(50 + 75)(12) = 750$ 을 계산 — 또는 사다리꼴을 분해한 직사각형 $+$ 두 직각삼각형의 넓이를 합산하는 데 사용.)
⭐ 수선 두 개만 내리면 사다리꼴이 직사각형 $+$ 직각삼각형 두 개로 바뀌고, 8학년 피타고라스 정리와 6학년 넓이 공식으로 마무리됩니다.
⭐ 수선 두 개만 내리면 사다리꼴이 직사각형 $+$ 직각삼각형 두 개로 바뀌고, 8학년 피타고라스 정리와 6학년 넓이 공식으로 마무리됩니다.
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