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AMC 8 · 2011 · #25

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-circlesarea-rectanglesestimation identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesarea-rectangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 반지름이 11 인 원이 한 정사각형에 내접하고, 동시에 다른 한 정사각형에 외접합니다. 원의 색칠된 부분의 넓이와 두 정사각형 사이의 넓이의 비에 가장 가까운 분수는 다음 중 어느 것인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}2$
(B)
1
(C)
$\frac{3}2$
(D)
2
(E)
$\frac{5}2$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름 $1$ 인 원이 큰 정사각형 안에 내접하고(네 변에 모두 닿음), 작은 정사각형 밖에 외접합니다(작은 정사각형의 네 꼭짓점이 원 위에 있음). 그림에는 색칠된 부분이 두 군데입니다 — 원 안에서 작은 정사각형을 뺀 부분, 그리고 큰 정사각형 안에서 원을 뺀 부분. 우리는 (원 안의 색칠된 넓이) : (두 정사각형 사이의 넓이) 비율을 구하고, 그 값에 가장 가까운 선택지를 골라야 합니다.

주어진 것: 원의 반지름 $r = 1$; 큰 정사각형은 원에 외접 (각 변이 원에 접함); 작은 정사각형은 원에 내접 (각 꼭짓점이 원 위에 있음); 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $1$, (C) $\tfrac{3}{2}$, (D) $2$, (E) $\tfrac{5}{2}$

구하는 것: $\dfrac{\text{원 안의 색칠된 넓이}}{\text{두 정사각형 사이의 넓이}}$ 에 가장 가까운 분수

이해

문제 재정리: 반지름 $1$ 인 원이 큰 정사각형 안에 내접하고(네 변에 모두 닿음), 작은 정사각형 밖에 외접합니다(작은 정사각형의 네 꼭짓점이 원 위에 있음). 그림에는 색칠된 부분이 두 군데입니다 — 원 안에서 작은 정사각형을 뺀 부분, 그리고 큰 정사각형 안에서 원을 뺀 부분. 우리는 (원 안의 색칠된 넓이) : (두 정사각형 사이의 넓이) 비율을 구하고, 그 값에 가장 가까운 선택지를 골라야 합니다.

주어진 것: 원의 반지름 $r = 1$; 큰 정사각형은 원에 외접 (각 변이 원에 접함); 작은 정사각형은 원에 내접 (각 꼭짓점이 원 위에 있음); 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $1$, (C) $\tfrac{3}{2}$, (D) $2$, (E) $\tfrac{5}{2}$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

그림에 세 도형 — 큰 정사각형, 원, 작은 정사각형 — 이 겹쳐 있으니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이 세 개를 따로따로 구한 뒤 비율로 합치는 게 깔끔합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 문제에 이미 들어 있어서, 원의 지름이 큰 정사각형의 한 변이고 작은 정사각형의 대각선이라는 사실만 그림에서 읽어 내면 모든 길이가 따라옵니다. 마지막에 비율을 계산하고 나면 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지 중 가장 가까운 값을 골라 마무리합니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1
  • 그림에서 두 가지 길이를 읽습니다.
  • 원이 큰 정사각형에 내접하므로 큰 정사각형의 한 변 $=$ 원의 지름 $= 2r = 2$.
  • 작은 정사각형이 원에 내접하므로 작은 정사각형의 대각선 $=$ 원의 지름 $= 2r = 2$.
$$\text{큰 정사각형의 한 변} = 2, \quad \text{작은 정사각형의 대각선} = 2$$

💡 도구 #1: 그림이 일을 대신 해 줍니다 — 원과 정사각형이 만나는 접점·꼭짓점이 원의 반지름을 정사각형으로 옮겨 주는 다리 역할을 합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 2
  • 작은 문제 1: 큰 정사각형의 넓이.
  • 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱입니다.
$$A_{\text{큰}} = 2^2 = 4$$

💡 3학년 "넓이 $=$ 한 변 $\times$ 한 변" — 세 도형 중 가장 쉬운 부분.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3
  • 작은 문제 2: 작은 정사각형의 넓이.
  • 한 변을 $s$ 라 하면, 대각선은 정사각형을 두 직각이등변삼각형으로 가르고 빗변이 $s\sqrt{2}$ 가 됩니다.
  • 따라서 $s\sqrt{2} = 2$ 에서 $s^2 = 2$ — 이게 바로 넓이입니다.
$$s\sqrt{2} = 2 \;\Rightarrow\; s^2 = \dfrac{2^2}{2} = 2, \quad A_{\text{작은}} = s^2 = 2$$

💡 반쪽 직각삼각형에 피타고라스 정리를 쓰면 대각선이 "한 변의 제곱"으로 바로 바뀌고, 그 값이 곧 넓이입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

작은 문제 3: 원의 넓이.

$$A_{\text{원}} = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi$$

💡 7학년 원의 넓이 공식. $r = 1$ 덕분에 답이 그대로 $\pi$.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 5
  • 색칠된 두 부분을 조립합니다.
  • 원 안의 색칠 영역 $=$ 원의 넓이 $-$ 작은 정사각형의 넓이 (작은 정사각형의 꼭짓점이 원 위에 있으므로 정사각형은 원 안에 들어 있음).
  • 두 정사각형 사이 영역 $=$ 큰 정사각형의 넓이 $-$ 작은 정사각형의 넓이.
$$\text{원 안의 색칠} = \pi - 2, \quad \text{정사각형 사이} = 4 - 2 = 2$$

💡 겹친 도형 사이의 넓이를 빼서 구하는 것은 3학년 넓이 추론의 표준 동작.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 6

비율을 세우고 $\pi \approx 3.14$ 로 어림합니다.

$$\dfrac{\pi - 2}{2} \approx \dfrac{3.14 - 2}{2} = \dfrac{1.14}{2} = 0.57$$

💡 두 넓이의 비율을 계산하는 것은 6학년 비율 추론 — 시속 계산과 같은 결의 기술.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 7
  • $0.57$ 을 선택지와 비교해 가장 가까운 값을 고릅니다.
  • $|0.57 - 0.5| = 0.07$, $|0.57 - 1| = 0.43$, 나머지 선택지는 더 멀리 떨어져 있습니다.
$$\text{(A) } 0.5,\ \text{(B) } 1,\ \text{(C) } 1.5,\ \text{(D) } 2,\ \text{(E) } 2.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(A) } \tfrac{1}{2}$$

💡 도구 #3: "가장 가까운 값" 문제는 한 숫자와 다섯 후보 사이의 거리 비교로 환원됩니다.

[1] #1 7.G.B.4 그림에서 두 가지 길이를 읽습니다. 원이 큰 정사각형에 내접하므로 큰 정사각형의 한 변 $=$ 원의 지름 $= 2r = 2$. 작은 정사각형이
[2] #7 3.MD.C.7 작은 문제 1: 큰 정사각형의 넓이. 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱입니다.
[3] #7 8.G.B.7 작은 문제 2: 작은 정사각형의 넓이. 한 변을 $s$ 라 하면, 대각선은 정사각형을 두 직각이등변삼각형으로 가르고 빗변이 $s\sqrt{2}$
[4] #7 7.G.B.4 작은 문제 3: 원의 넓이.
[5] #7 3.MD.C.7 색칠된 두 부분을 조립합니다. 원 안의 색칠 영역 $=$ 원의 넓이 $-$ 작은 정사각형의 넓이 (작은 정사각형의 꼭짓점이 원 위에 있으므로 정
[6] #7 6.RP.A.3 비율을 세우고 $\pi \approx 3.14$ 로 어림합니다.
[7] #3 6.RP.A.3 $0.57$ 을 선택지와 비교해 가장 가까운 값을 고릅니다. $|0.57 - 0.5| = 0.07$, $|0.57 - 1| = 0.43$, 나머

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 확인해 봅시다. 원의 넓이 $\pi \approx 3.14$ 는 작은 정사각형($2$)보다 약간 크고 큰 정사각형($4$)보다 작아서 그림과 정확히 들어맞습니다. 원 안의 색칠된 "초승달 4개"의 합은 약 $1.14$ 이고, 정사각형 사이의 모서리 "4조각"의 합은 $2$ 이므로, 원 안의 색칠은 정사각형 사이 넓이의 약 절반 — $\tfrac{1}{2}$ 과 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 비율을 $\dfrac{\pi - 2}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 1$ 로 다시 써 봅니다. $\pi/2 \approx 1.57$ 이므로 비율은 $0.57$ — 같은 결론이지만 소수 뺄셈을 생략할 수 있습니다. 이 식만 봐도 답이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 살짝 크고 $1$ 보다 훨씬 작다는 게 곧장 보이므로 다른 선택지를 일일이 비교하지 않아도 (A) 가 답인 게 분명해집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

  • 3.MD.C.7 넓이와 곱셈의 관계 이해; 직사각형의 넓이를 한 변 $\times$ 한 변으로 구하기 (큰 정사각형의 넓이를 $2 \times 2 = 4$ 로 구하고, 두 정사각형 사이의 넓이를 $4 - 2 = 2$ 로 빼서 만드는 데 사용.)
  • 7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제에 적용 (그림에서 원의 지름 $d = 2r = 2$ 를 읽어 내고, 원의 넓이를 $\pi r^2 = \pi$ 로 계산.)
  • 8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 모르는 변의 길이 구하기 (작은 정사각형의 대각선($2$)을 넓이로 바꿀 때: $s\sqrt{2} = 2$ 에서 $s^2 = 2$ 가 곧 넓이.)
  • 6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($\dfrac{\pi - 2}{2} \approx 0.57$ 비율을 만들고, 다섯 분수 선택지 중 가장 가까운 값을 고르는 데 사용.)

⭐ 세 도형을 따로 떼서 3-8학년 넓이 공식 세 개로 풀고, $\pi \approx 3.14$ 로 비율을 어림하면 가장 가까운 선택지 하나가 바로 골라집니다.

⭐ 세 도형을 따로 떼서 3-8학년 넓이 공식 세 개로 풀고, $\pi \approx 3.14$ 로 비율을 어림하면 가장 가까운 선택지 하나가 바로 골라집니다.

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