AMC 8 · 2012 · #21
학년 6 geometry-3d문제
마를라(Marla)에게는 한 변의 길이가 피트인 커다란 흰색 정육면체가 있습니다. 그녀는 또한 제곱피트를 덮을 만큼의 초록색 페인트를 가지고 있습니다. 마를라는 페인트를 한 방울도 남기지 않고 모두 써서, 각 면 한가운데에 흰색 정사각형을 남기고 그 둘레를 초록색 테두리로 칠합니다. 한 면의 가운데에 남은 흰색 정사각형의 넓이는 몇 제곱피트일까요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 변의 길이가 $10$ 피트인 흰색 정육면체가 있습니다. 마를라는 각 면 한가운데에 정사각형 모양의 흰 부분을 남기고 그 둘레를 초록색 테두리로 칠하는데, 가진 초록색 페인트 $300$ 제곱피트를 한 방울도 남기지 않고 모두 씁니다. 한 면 가운데에 남은 흰 정사각형의 넓이는 몇 제곱피트일까요?
주어진 것: 정육면체의 한 변 길이 $= 10$ 피트 → 각 면은 $10 \times 10$ 정사각형; 정육면체의 면은 모두 합동인 $6$ 개; 초록색 페인트 총량 $= 300$ 제곱피트, 마를라가 전부 사용; 각 면은 가운데 흰 정사각형과 그 둘레의 초록색 테두리로 빈틈없이 채워짐; 선택지: (A) $5\sqrt{2}$, (B) $10$, (C) $10\sqrt{2}$, (D) $50$, (E) $50\sqrt{2}$ (제곱피트)
구하는 것: 한 면 가운데에 있는 흰 정사각형 하나의 넓이(제곱피트)
이해
문제 재정리: 한 변의 길이가 $10$ 피트인 흰색 정육면체가 있습니다. 마를라는 각 면 한가운데에 정사각형 모양의 흰 부분을 남기고 그 둘레를 초록색 테두리로 칠하는데, 가진 초록색 페인트 $300$ 제곱피트를 한 방울도 남기지 않고 모두 씁니다. 한 면 가운데에 남은 흰 정사각형의 넓이는 몇 제곱피트일까요?
주어진 것: 정육면체의 한 변 길이 $= 10$ 피트 → 각 면은 $10 \times 10$ 정사각형; 정육면체의 면은 모두 합동인 $6$ 개; 초록색 페인트 총량 $= 300$ 제곱피트, 마를라가 전부 사용; 각 면은 가운데 흰 정사각형과 그 둘레의 초록색 테두리로 빈틈없이 채워짐; 선택지: (A) $5\sqrt{2}$, (B) $10$, (C) $10\sqrt{2}$, (D) $50$, (E) $50\sqrt{2}$ (제곱피트)
계획
주요 도구: #11 대칭 이용하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
정육면체의 $6$ 개 면이 똑같은 방식으로 칠해지므로, 대칭에 의해 초록색 페인트 $300$ 제곱피트는 면당 똑같이 $6$ 등분됩니다. 이것이 도구 #11(대칭 이용하기) 의 핵심 — 정육면체 전체를 보지 말고 "한 면" 만 보면 됩니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 한 면 안을 정리합니다: 넓이 $100$ 제곱피트짜리 면은 흰 정사각형 $+$ 초록 테두리 두 조각으로 이루어지므로, 흰 넓이는 그냥 $100$ 에서 초록 넓이를 빼면 됩니다. 제곱근이나 피타고라스 정리는 전혀 필요 없고, 선택지의 $\sqrt{2}$ 들은 헷갈리게 하려는 함정입니다.
실행 — 정답: D
3.MD.C.7 단계 1 - 정육면체 한 면의 넓이를 구합니다.
- 각 면은 가로·세로 모두 $10$ 피트인 정사각형입니다.
💡 직사각형의 넓이를 가로 $\times$ 세로로 구하는 것은 3학년 넓이 표준 그대로입니다.
6.G.A.4 단계 2 - 대칭을 이용해 초록 페인트를 $6$ 개 면에 똑같이 나눕니다.
- $6$ 개 면이 모두 합동이고 같은 무늬로 칠해지므로, 한 면에 칠해지는 초록 넓이는 $300$ 제곱피트의 $\tfrac{1}{6}$ 입니다.
💡 겉면을 $6$ 개의 같은 면으로 쪼개서 다루는 것은 6학년 "전개도로 겉넓이 구하기" 의 사고방식 그대로입니다.
4.MD.A.3 단계 3 - 한 면을 두 조각으로 나눕니다.
- 한 면 안에서 가운데 흰 정사각형과 둘레 초록 테두리는 빈틈없이 합쳐져 면 전체를 덮으므로, 두 넓이의 합은 $100$ 제곱피트입니다.
💡 겹치지 않는 영역들의 넓이를 더해서 전체 넓이가 된다는 "넓이의 가법성" 은 4학년 표준입니다.
4.MD.A.3 단계 4 2단계에서 구한 면당 초록 넓이를 대입해 흰 넓이를 구합니다.
💡 면 전체에서 초록 조각을 빼면 흰 조각이 남습니다 — 넓이 가법성 그대로의 뺄셈입니다.
3.MD.C.7 정육면체 한 면의 넓이를 구합니다. 각 면은 가로·세로 모두 $10$ 피트인 정사각형입니다. 6.G.A.4 대칭을 이용해 초록 페인트를 $6$ 개 면에 똑같이 나눕니다. $6$ 개 면이 모두 합동이고 같은 무늬로 칠해지므로, 한 면에 칠해지는 초록 넓 4.MD.A.3 한 면을 두 조각으로 나눕니다. 한 면 안에서 가운데 흰 정사각형과 둘레 초록 테두리는 빈틈없이 합쳐져 면 전체를 덮으므로, 두 넓이의 합은 $ 4.MD.A.3 2단계에서 구한 면당 초록 넓이를 대입해 흰 넓이를 구합니다. 검토
합리성 확인: 정육면체의 전체 겉넓이는 $6 \times 100 = 600$ 제곱피트이고, 마를라의 초록 페인트 $300$ 제곱피트는 그 정확히 절반입니다. 즉 각 면에서 초록이 절반($50$ 제곱피트), 흰색이 나머지 절반($50$ 제곱피트) 을 차지하므로 답 (D) $50$ 과 일치합니다. 흰 정사각형은 면 전체($100$ 제곱피트) 보단 작지만 면의 상당 부분을 차지하는 셈이어서, "가운데 정사각형 + 둘레 테두리" 그림과 잘 맞습니다. 선택지의 $5\sqrt{2}, 10\sqrt{2}, 50\sqrt{2}$ 같은 무리수는 가운데 흰 정사각형이 면 안에서 $45^\circ$ 기울어져 있다고 잘못 가정한 학생들을 노린 함정인데, 문제에는 기울었다는 단서가 없습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 검증할 수도 있습니다. 한 면의 흰 넓이는 면 전체($100$ 제곱피트) 보다 작아야 하고, $6$ 개 면의 흰 넓이를 모두 더한 값 $+$ 초록 페인트 $300$ 제곱피트 $= $ 겉넓이 $600$ 제곱피트가 되어야 합니다. 따라서 $6 \times (\text{흰 넓이}) = 600 - 300 = 300$ 이고, 흰 넓이 $= 50$. 정확히 정수의 절반이 되는 선택지는 (D) $50$ 뿐이며, $\sqrt{2}$ 가 들어간 무리수 선택지들은 이 식을 만족할 수 없습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.C.7넓이와 곱셈 연결하기; 직사각형 넓이를 가로 $\times$ 세로로 구하기 (정육면체 한 면의 넓이를 $10 \times 10 = 100$ 제곱피트로 계산하는 데 사용.)4.MD.A.3넓이·둘레 공식 적용; 겹치지 않는 영역의 넓이는 더하기로 합쳐진다는 가법성 (한 면을 "흰 정사각형 $+$ 초록 테두리 $= 100$ 제곱피트" 로 쓰고, 흰 넓이를 뺄셈으로 구하는 데 사용.)6.G.A.4전개도로 삼차원 도형을 나타내고, 전개도로 겉넓이 구하기 (정육면체를 합동인 $6$ 개 면-정사각형으로 보고, 초록 페인트 $300$ 제곱피트를 $\tfrac{300}{6} = 50$ 제곱피트씩 면당 한 조각으로 나누는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 "정육면체에는 똑같은 면이 $6$ 개 있다" 는 6학년 사실 하나면 풀려요 — 그 다음은 한 면 안에서 $100 - 50 = 50$ 뺄셈입니다.
⭐ 이 AMC 8 문제는 "정육면체에는 똑같은 면이 $6$ 개 있다" 는 6학년 사실 하나면 풀려요 — 그 다음은 한 면 안에서 $100 - 50 = 50$ 뺄셈입니다.