AMC 8 · 2013 · #5

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangemental-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

해미(Hammie)는 $6$ 학년이고 몸무게가 $106$ 파운드입니다. 그의 네 쌍둥이 여동생들은 아주 어린 아기들이며 몸무게는 각각 $5$ , $5$ , $6$ , $8$ 파운드입니다. 이 다섯 아이의 몸무게에 대해 평균(mean)과 중앙값(median) 중 어느 쪽이 더 크고, 그 차이는 몇 파운드일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

median, by 60

(B)

median, by 20

(C)

average, by 5

(D)

average, by 15

(E)

average, by 20

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 해미의 몸무게는 $106$ 파운드이고, 갓 태어난 네 쌍둥이 여동생의 몸무게는 각각 $5$, $5$, $6$, $8$ 파운드입니다. 이 다섯 아이의 몸무게에 대해 평균(mean)이 큰지 중앙값(median)이 큰지, 그리고 그 차이가 몇 파운드인지를 고르는 문제입니다.

주어진 것: 다섯 명의 몸무게(파운드): $106, 5, 5, 6, 8$; 중앙값 = $5$ 개 값을 오름차순으로 정렬했을 때 가운데 값($3$ 번째); 평균 = (몸무게의 합) $\div$ (아이 수); 선택지: (A) 중앙값이 $60$ 만큼 큼; (B) 중앙값이 $20$ 만큼 큼; (C) 평균이 $5$ 만큼 큼; (D) 평균이 $15$ 만큼 큼; (E) 평균이 $20$ 만큼 큼

구하는 것: 평균과 중앙값 중 어느 쪽이 더 크고, 차이가 몇 파운드인지

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제가 두 개의 요약 통계량을 한 번에 비교하라고 하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "중앙값 구하기", "평균 구하기", "둘을 비교하기" 의 세 조각으로 나눕니다. 중앙값은 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 가 거의 다 해 줍니다 — 다섯 몸무게를 작은 수부터 큰 수 순으로 정렬한 뒤 $3$ 번째 값을 그대로 읽으면 끝입니다. 정렬만 해 놓으면 중앙값은 계산이 전혀 필요 없으니, 합을 구하고 나누어야 하는 평균과의 차이가 또렷이 드러납니다 — 큰 값 하나($106$) 가 가운데 자리는 못 흔들어도 평균은 거의 세 배 가까이 끌어올리는 것이 보입니다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.5 단계 1

다섯 몸무게를 "작은 수부터 큰 수 순" 이라는 하나의 정렬 규칙으로 줄 세웁니다.
정렬해 두면 중앙값은 그저 $3$ 번째 자리에 있는 값입니다.

정렬: $\{5,\ 5,\ 6,\ 8,\ 106\}$

💡 값을 순서대로 늘어놓는 것은 가장 기본적인 자료 정리이고, 6학년 "수치자료 요약하기" 단원이 바로 여기서 시작합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 2

작은 문제 1 — 중앙값 읽기.
$5$ 개 값의 가운데는 정렬된 목록의 $3$ 번째 값입니다.
그 값이 $6$ 이므로 중앙값은 $6$ 파운드입니다.

$$\text{중앙값} = \text{(5개 중 3번째)} = 6 \text{ lb}$$

💡 6학년에서 정의하는 중앙값은 "정렬 후 가운데 하나" 입니다. 계산이 전혀 필요 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

작은 문제 2 — 평균 구하기.
먼저 다섯 몸무게의 합을 구합니다.

$$\text{합} = 5 + 5 + 6 + 8 + 106 = 130$$

💡 여러 자연수를 자릿값에 맞춰 더하는 것은 4학년 여러 자릿수 덧셈 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 4

그 합을 아이 수 $5$ 로 나누어 평균을 얻습니다.

$$\text{평균} = \dfrac{130}{5} = 26 \text{ lb}$$

💡 세 자릿수를 한 자릿수로 나누어 정수 몫을 구하는 것은 4학년 나눗셈 그대로이고, $130 \div 5 = 26$ 으로 깔끔하게 떨어집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 5

작은 문제 3 — 두 요약 통계량을 비교해 차이를 보고합니다.
평균($26$) 이 중앙값($6$) 보다 크니까, 빼서 차이를 구합니다.

$$\text{평균} - \text{중앙값} = 26 - 6 = 20 \;\Rightarrow\; \text{평균이 } 20 \text{ 만큼 큼} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 한 값이 나머지보다 훨씬 클 때 평균은 그쪽으로 쏠리지만 중앙값은 꿈쩍하지 않는다 — 6학년 "중심 측도" 의 극단값에 대한 핵심 직관입니다.

[1] #2 6.SP.B.5 다섯 몸무게를 "작은 수부터 큰 수 순" 이라는 하나의 정렬 규칙으로 줄 세웁니다. 정렬해 두면 중앙값은 그저 $3$ 번째 자리에 있는 값입니다

[2] #7 6.SP.A.3 작은 문제 1 — 중앙값 읽기. $5$ 개 값의 가운데는 정렬된 목록의 $3$ 번째 값입니다. 그 값이 $6$ 이므로 중앙값은 $6$ 파운드입니

[3] #7 4.NBT.B.4 작은 문제 2 — 평균 구하기. 먼저 다섯 몸무게의 합을 구합니다.

[4] #7 4.NBT.B.6 그 합을 아이 수 $5$ 로 나누어 평균을 얻습니다.

[5] #7 6.SP.A.3 작은 문제 3 — 두 요약 통계량을 비교해 차이를 보고합니다. 평균($26$) 이 중앙값($6$) 보다 크니까, 빼서 차이를 구합니다.

검토

합리성 확인: 다섯 몸무게 중 네 개($5, 5, 6, 8$) 가 모두 $6$ 근처에 몰려 있으니 중앙값도 작아야 하고, 실제로 정확히 $6$ 입니다. 다섯 번째 값($106$) 만 유난히 커서 평균을 위로 끌어올립니다 — $106 - 6 = 100$ 만큼의 추가 무게가 다섯 명에게 퍼지면 한 명당 $100 / 5 = 20$ 파운드씩 더해져서, $6$ 위에 $20$ 을 얹어 평균은 $26$ 이 됩니다. 답이 주장하는 "$20$ 파운드 차이" 와 정확히 일치하고, (E) 와 맞물립니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 을 보기에 직접 적용해도 됩니다. 중앙값이 명백히 $6$(아기 몸무게) 이므로 평균이 그보다 작을 수는 없고, 그래서 "중앙값이 더 크다" 고 주장하는 (A), (B) 가 즉시 탈락합니다. 합 $130$ 을 $5$ 로 나누면 평균은 $26$ 이고 차이는 $26 - 6 = 20$ 이므로 (E) 만 남고, (C) 와 (D) 도 함께 사라집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.4 여러 자릿수 자연수의 덧셈과 뺄셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행 (다섯 몸무게의 합 $5 + 5 + 6 + 8 + 106 = 130$ 파운드를 계산하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수와 한 자리 제수의 자연수 나눗셈에서 정수 몫 구하기 (평균을 구하기 위해 합을 아이 수로 나누는 계산 $130 \div 5 = 26$ 에 사용.)
6.SP.A.3 수치자료의 중심 측도는 모든 값을 하나의 수로 요약한다는 것 이해 (중앙값(정렬된 목록의 가운데 값) 과 평균(합 $\div$ 개수) 의 6학년 정의를 적용하고, 큰 값($106$) 하나가 왜 평균만 끌어올리는지 해석.)
6.SP.B.5 수치자료를 맥락에 맞춰 요약하기 (다섯 몸무게를 정렬한 뒤 두 요약 통계량을 보고하여 "누가 더 크고 얼마만큼인가" 라는 비교가 명확해지도록 정리.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배운 평균과 중앙값만 알면 풀 수 있어요 — 한 명의 큰 값($106$ 파운드!) 이 평균은 크게 끌어올리지만 중앙값은 흔들지 못해요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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