AMC 8 · 2016 · #10

학년 6 algebra

function-evaluationlinear-equations-one-varformula-substitution identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varformula-substitution

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

$a * b$ 를 $3a-b$ 로 정의합시다. 다음 식을 만족하는 $x$ 의 값은 얼마일까요?
$2 * (5 * x)=1$
$\textbf{(A) }\frac{1}{10} \qquad\textbf{(B) }2\qquad\textbf{(C) }\frac{10}{3} \qquad\textbf{(D) }10\qquad \textbf{(E) }14$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{10}$

(B)

(C)

$frac{10}{3}$

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 새로운 연산 $a * b$ 를 $a * b = 3a - b$ 로 정의합니다. $2 * (5 * x) = 1$ 이 성립할 때 $x$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 사용자 정의 연산: $a * b = 3a - b$; 방정식: $2 * (5 * x) = 1$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{10}$, (B) $2$, (C) $\tfrac{10}{3}$, (D) $10$, (E) $14$

구하는 것: 방정식을 참으로 만드는 $x$ 의 값

이해

문제 재정리: 새로운 연산 $a * b$ 를 $a * b = 3a - b$ 로 정의합니다. $2 * (5 * x) = 1$ 이 성립할 때 $x$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 사용자 정의 연산: $a * b = 3a - b$; 방정식: $2 * (5 * x) = 1$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{10}$, (B) $2$, (C) $\tfrac{10}{3}$, (D) $10$, (E) $14$

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

마지막 결과($1$)는 알고 있고 가장 안쪽의 시작값 $x$ 를 되찾아야 하는 형태 — 도구 #11(거꾸로 풀기)의 전형적인 트리거입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 안쪽 식을 $y = 5 * x$ 라는 새 이름으로 묶어 두면, 한 번에 $*$ 하나씩만 풀면 됩니다: 먼저 바깥 $2 * y = 1$, 그다음 안쪽 $5 * x = y$. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 개 선택지 중 어느 것에 해당하는지 확인합니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

안쪽 연산에 이름을 붙입니다.
$y = 5 * x$ 라고 두면, 바깥 식은 $2 * y = 1$ 이라는 한 겹짜리 방정식이 되어 먼저 다룰 수 있습니다.

$$y = 5 * x \;\text{로 두면}\; 2 * y = 1.$$

💡 복잡한 부분식에 이름을 부여하는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 — 이제 한 번에 $*$ 한 개만 풀면 됩니다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 2

바깥쪽 $*$ 를 거꾸로 풉니다.
정의 $a * b = 3a - b$ 에 의해 $2 * y = 1$ 은 $3(2) - y = 1$, 즉 $6 - y = 1$ 입니다.
$y$ 에 마지막으로 행해진 연산은 "$6$ 에서 뺐다"이므로 이를 되돌리면 $y = 6 - 1 = 5$ 입니다.

$$2 * y = 1 \;\Rightarrow\; 6 - y = 1 \;\Rightarrow\; y = 5.$$

💡 끝값($1$)을 알고 마지막 단계를 되돌리는 것이 도구 #11(거꾸로 풀기) — 바깥 한 겹이 한 번에 일차 방정식 한 개로 정리됩니다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 3

안쪽 $*$ 도 거꾸로 풉니다.
이제 $5 * x = y = 5$ 입니다.
정의에 의해 $5 * x = 3(5) - x = 15 - x$ 이므로 $15 - x = 5$.
뺄셈을 되돌리면 $x = 15 - 5 = 10$ 입니다.

$$5 * x = 5 \;\Rightarrow\; 15 - x = 5 \;\Rightarrow\; x = 10.$$

💡 같은 도구 #11 동작을 안쪽 층에 적용 — $x$ 에 마지막으로 행해진 연산이 "$15$ 에서 뺐다" 이므로 이를 뒤집습니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 4

$x = 10$ 을 선택지에서 찾아 확정합니다.

$$x = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}.$$

💡 계산한 값이 (A)-(E) 중 어디에 있는지 확인하는 것은 객관식 문제에서의 도구 #3(가능성 지우기) 마무리입니다.

[1] #7 6.EE.A.2 안쪽 연산에 이름을 붙입니다. $y = 5 * x$ 라고 두면, 바깥 식은 $2 * y = 1$ 이라는 한 겹짜리 방정식이 되어 먼저 다룰 수

[2] #11 6.EE.B.7 바깥쪽 $*$ 를 거꾸로 풉니다. 정의 $a * b = 3a - b$ 에 의해 $2 * y = 1$ 은 $3(2) - y = 1$, 즉 $6 -

[3] #11 6.EE.B.7 안쪽 $*$ 도 거꾸로 풉니다. 이제 $5 * x = y = 5$ 입니다. 정의에 의해 $5 * x = 3(5) - x = 15 - x$ 이므로

[4] #3 6.EE.B.5 $x = 10$ 을 선택지에서 찾아 확정합니다.

검토

합리성 확인: $x = 10$ 을 원래 식에 다시 넣어 확인합니다. 안쪽: $5 * 10 = 3(5) - 10 = 15 - 10 = 5$. 바깥: $2 * 5 = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$. 주어진 값 $1$ 과 정확히 일치하므로 $x = 10$ 이 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 다섯 선택지를 직접 대입할 수도 있습니다. 각 후보 $x$ 에 대해 $5 * x = 15 - x$, 그다음 $2 * (15 - x) = 6 - (15 - x) = x - 9$ 이므로 이 값이 $1$ 이 되어야 합니다. $x = 10$ 일 때만 $10 - 9 = 1$ 이 성립하고, 나머지는 $\tfrac{1}{10} - 9$, $2 - 9 = -7$, $\tfrac{10}{3} - 9$, $14 - 9 = 5$ 로 모두 $1$ 이 아닙니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자로 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 (사용자 정의 연산 $a * b = 3a - b$ 의 정의를 읽고, 수치와 보조 변수 $y$ 를 대입해 식의 값을 구하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$, $px = q$ 형태의 일차 일차원 방정식을 세우고 푸는 문제 해결 ($6 - y = 1$ 을 되돌려 $y = 5$ 를, 이어서 $15 - x = 5$ 를 되돌려 $x = 10$ 을 구하는 일차 방정식 풀이에 사용.)
6.EE.B.5 방정식 풀이를, 주어진 값 집합 중 어떤 값이 방정식을 참으로 만드는지 답하는 과정으로 이해하기 ($x = 10$ 이 $2 * (5 * x) = 1$ 을 만족시키는 선택지 (D) 임을 확인하고 나머지 후보를 배제하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 "한 단계 방정식 풀기" 와 "마지막 단계를 되돌리기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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