AMC 8 · 2016 · #15
학년 6 number-theoryalgebra문제
의 약수 중 가장 큰 의 거듭제곱은 무엇일까요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $13^4 - 11^4$ 을 나머지 없이 나누는 가장 큰 $2$ 의 거듭제곱 — 즉, $2^k$ 가 나누어 떨어지게 하는 가장 큰 $k$ — 을 구합니다.
주어진 것: 대상 식: $13^4 - 11^4$; $13^4 = 28561$, $11^4 = 14641$ 이라 차이는 $13920$ 이지만, 직접 계산하지 않고 풀 것입니다; 선택지: (A) $8$, (B) $16$, (C) $32$, (D) $64$, (E) $128$
구하는 것: $13^4 - 11^4$ 을 나누는 가장 큰 $2$ 의 거듭제곱
이해
문제 재정리: $13^4 - 11^4$ 을 나머지 없이 나누는 가장 큰 $2$ 의 거듭제곱 — 즉, $2^k$ 가 나누어 떨어지게 하는 가장 큰 $k$ — 을 구합니다.
주어진 것: 대상 식: $13^4 - 11^4$; $13^4 = 28561$, $11^4 = 14641$ 이라 차이는 $13920$ 이지만, 직접 계산하지 않고 풀 것입니다; 선택지: (A) $8$, (B) $16$, (C) $32$, (D) $64$, (E) $128$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
$13^4 - 11^4 = 13920$ 을 직접 계산할 수도 있지만, 그 다음 $13920$ 을 소인수분해해야 해서 손이 많이 갑니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 쓰면 더 깔끔합니다 — 제곱 차 공식 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 를 두 번 써서 $13^4 - 11^4$ 을 $(13-11)$, $(13+11)$, $(13^2 + 11^2)$ 세 개의 작은 인수로 쪼개고, 각 인수에서 $2$ 의 개수를 따로 세면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 가 이를 뒷받침해 줍니다 — $5^2 - 3^2$ 같은 작은 경우로 공식을 확인하면 안심하고 큰 수에 적용할 수 있습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 이나 우직한 직접 나눗셈은 일부러 피합니다 — 인수분해가 일을 대신 해 주니까요.
실행 — 정답: C
6.EE.A.1 단계 1 - $13$ 과 $11$ 에 공식을 쓰기 전, 먼저 작은 경우로 제곱 차 공식을 확인합니다.
- $5^2 - 3^2$ 을 직접 계산하면 $25 - 9 = 16$, 공식을 쓰면 $(5-3)(5+3) = 2 \times 8 = 16$.
- 두 값이 같으므로 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 는 믿고 쓸 수 있습니다.
💡 큰 수에 쓰기 전 작은 수로 공식을 검증하는 것이 도구 #9 "더 쉬운 문제로 줄이기" 의 핵심 동작입니다.
6.EE.A.1 단계 2 $13^4$ 을 $(13^2)^2$ 로, $11^4$ 을 $(11^2)^2$ 로 보고 공식을 한 번 적용해 네제곱 차를 두 개의 인수로 쪼갭니다.
💡 어려운 식 하나를 더 쉬운 식 두 개로 나누는 것이 도구 #7 "작은 문제로 쪼개기" 의 가장 기본 동작입니다.
6.EE.A.1 단계 3 - 첫 번째 인수 $13^2 - 11^2$ 자체가 제곱 차이므로 공식을 한 번 더 적용해 더 잘게 쪼갭니다.
- 그 결과, 원래의 네제곱 차가 세 개의 단순한 인수의 곱으로 변합니다.
💡 남은 조각에 같은 "쪼개기" 동작을 한 번 더 — 부분 문제는 이렇게 한 겹씩 벗겨 나갑니다.
5.NBT.B.5 단계 4 - 세 번째 인수는 그냥 자연수 덧셈으로 계산합니다.
- $13^2 = 169$, $11^2 = 121$ 이므로 $13^2 + 11^2 = 290$.
- 분석 대상은 $2 \times 24 \times 290$ 의 곱이 됩니다.
💡 이제 각 인수가 머릿속에 들어오는 크기라, 어렵던 식이 다루기 쉬운 세 조각으로 줄었습니다.
6.NS.B.4 단계 5 - 세 인수 각각에서 $2$ 의 개수를 소인수분해로 셉니다.
- 곱셈에서는 $2$ 의 지수가 더해지므로 마지막에 합치기만 하면 됩니다.
- $2 = 2^1$.
- $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$.
- $290 = 2 \times 145$ 이고 $145 = 5 \times 29$ 는 홀수이므로 $290 = 2^1 \times 145$.
- 지수를 더하면 $1 + 3 + 1 = 5$, 즉 곱을 나누는 가장 큰 $2$ 의 거듭제곱은 $2^5 = 32$ 입니다.
💡 각 인수의 "$2$ 의 양" 은 소인수분해로 보이고, 지수 법칙 $2^a \times 2^b = 2^{a+b}$ 가 그것들을 한 번에 더해 줍니다.
6.EE.A.1 $13$ 과 $11$ 에 공식을 쓰기 전, 먼저 작은 경우로 제곱 차 공식을 확인합니다. $5^2 - 3^2$ 을 직접 계산하면 $25 - 9 6.EE.A.1 $13^4$ 을 $(13^2)^2$ 로, $11^4$ 을 $(11^2)^2$ 로 보고 공식을 한 번 적용해 네제곱 차를 두 개의 인수로 쪼갭니다 6.EE.A.1 첫 번째 인수 $13^2 - 11^2$ 자체가 제곱 차이므로 공식을 한 번 더 적용해 더 잘게 쪼갭니다. 그 결과, 원래의 네제곱 차가 세 개의 5.NBT.B.5 세 번째 인수는 그냥 자연수 덧셈으로 계산합니다. $13^2 = 169$, $11^2 = 121$ 이므로 $13^2 + 11^2 = 290$. 6.NS.B.4 세 인수 각각에서 $2$ 의 개수를 소인수분해로 셉니다. 곱셈에서는 $2$ 의 지수가 더해지므로 마지막에 합치기만 하면 됩니다. $2 = 2^1 검토
합리성 확인: 직접 확인: $13^4 = 28561$, $11^4 = 14641$ 이므로 $13^4 - 11^4 = 13920$. 계속 반으로 나눠 봅니다 — $13920 \to 6960 \to 3480 \to 1740 \to 870 \to 435$. 홀수가 될 때까지 정확히 $5$ 번 나눴으므로 $13920 = 2^5 \times 435 = 32 \times 435$. 인수분해로 얻은 답 $32$ 와 정확히 일치하므로 (C) 가 맞습니다. (D) $64$ 라면 $6$ 번 나눠야 했고, (B) $16$ 이라면 $4$ 번에서 멈춰야 했을 텐데, 둘 다 실제와 다릅니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해도 됩니다. $13^4 - 11^4 = 13920$ 을 구한 뒤, 큰 선택지부터 나눠 봅니다. $13920 \div 128 = 108.75$ (정수 아님, E 제외). $13920 \div 64 = 217.5$ (D 제외). $13920 \div 32 = 435$ (정수 — C 후보). $32$ 는 되고 $64$ 는 안 되므로, $2$ 의 거듭제곱 중 가장 큰 것은 $32$, 답은 (C) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NBT.B.5여러 자리 자연수의 능숙한 곱셈 (세 번째 인수를 계산하기 위해 $13^2 = 169$, $11^2 = 121$ 과 그 합 $169 + 121 = 290$ 을 계산하는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식 표현·계산 ($13^4 - 11^4$ 을 $(13^2)^2 - (11^2)^2$ 로 다시 쓰고 지수 표현 수준에서 제곱 차 공식을 적용하는 데 사용.)6.NS.B.4최대공약수 구하기와 소인수분해 활용 ($2$, $24$, $290$ 을 각각 소인수분해하여 $2$ 의 개수를 세고, $2^a \times 2^b = 2^{a+b}$ 로 합치는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 소인수분해 개념과, $5^2 - 3^2$ 같은 작은 수로 확인할 수 있는 인수분해 한 가지 — $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ — 만 있으면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 소인수분해 개념과, $5^2 - 3^2$ 같은 작은 수로 확인할 수 있는 인수분해 한 가지 — $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ — 만 있으면 풀 수 있어요!