AMC 8 · 2016 · #19

학년 6 arithmeticalgebra

sequences-arithmeticmean-median-mode-rangepattern-recognition easier-related-problempattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmean-median-mode-range

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문제

연속한 짝수 $25$ 개의 합이 $10{,}000$ 입니다. 이 $25$ 개의 연속한 짝수 중 가장 큰 수는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$mbox{ }360$

(B)

$mbox{ }388$

(C)

$mbox{ }412$

(D)

$mbox{ }416$

(E)

$mbox{ }424$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 연속하는 짝수 $25$ 개, 즉 $..., n-4, n-2, n, n+2, n+4, ...$ 형태로 늘어놓은 정수들의 합이 $10{,}000$ 입니다. 이 중 가장 큰 수는 얼마일까요?

주어진 것: 정수가 정확히 $25$ 개 있다; 연속하는 짝수이다 (이웃한 항은 $2$ 씩 차이가 난다); $25$ 개의 합은 $10{,}000$ 이다; 선택지: (A) $360$, (B) $388$, (C) $412$, (D) $416$, (E) $424$

구하는 것: $25$ 개의 짝수 중 가장 큰 수 ($25$ 번째 항)

이해

문제 재정리: 연속하는 짝수 $25$ 개, 즉 $..., n-4, n-2, n, n+2, n+4, ...$ 형태로 늘어놓은 정수들의 합이 $10{,}000$ 입니다. 이 중 가장 큰 수는 얼마일까요?

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

연속 짝수 $25$ 개를 일일이 나열하기는 벅찹니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 $3$ 개나 $5$ 개를 먼저 더해 보면 "합 $=$ 개수 $\times$ 가운데 항" 이라는 규칙이 보입니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 이 규칙을 그대로 적용하면 가운데 항이 $10{,}000 \div 25 = 400$ 으로 단번에 나오죠. 마지막은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "가운데 항 구하기 $\to$ 거기서 $12$ 칸 오른쪽으로 $+2$ 씩 이동" 두 단계로 나눠 가장 큰 항에 도달합니다. 도구 #13(대수) 을 꺼낼 필요가 전혀 없습니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.B.5 단계 1

$3$ 개로 줄여서 연습해 봅시다.
$4, 6, 8$ 의 합은 $18$ 이고, 이는 $3 \times 6$ ($6$ 이 가운데 항) 과 같습니다.
$5$ 개도 확인: $2, 4, 6, 8, 10$ 의 합은 $30 = 5 \times 6$ 이고 가운데 항은 다시 $6$ 입니다.
규칙은 "홀수 개의 균등 간격 수열에서 합 $=$ 개수 $\times$ 가운데 항".

$4 + 6 + 8 = 18 = 3 \times 6$, \quad $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 = 5 \times 6$

💡 가운데 항을 중심으로 양옆이 짝지어 상쇄된다는 사실을 작은 예에서 먼저 확인하는 것은 3학년 "연산 성질" 활동 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 6.SP.B.5 단계 2

이 규칙을 원래 문제에 적용합니다.
항이 $25$ 개로 홀수이니, 합 $= 25 \times$ (가운데 항) 입니다.
양변을 $25$ 로 나누면 가운데 항이 바로 나옵니다.

$$\text{가운데 항} = \dfrac{10{,}000}{25} = 400$$

💡 홀수 개의 균등 간격 수열에서는 평균과 가운데 값이 같다는 것은 6학년 통계 개념입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.C.5 단계 3

가운데 위치를 찾습니다.
$25$ 개의 한가운데는 $13$ 번째 항입니다 ($12$ 개가 왼쪽, $12$ 개가 오른쪽).
그러므로 $13$ 번째 항이 $400$.

$$\dfrac{25 + 1}{2} = 13$$

💡 전체 개수를 "가운데보다 앞 / 가운데 / 가운데보다 뒤" 로 쪼개는 것은 4학년 수열 위치 감각입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

$13$ 번째 항에서 $25$ 번째 항까지는 $25 - 13 = 12$ 칸이고, 연속 짝수라 한 칸 갈 때마다 $2$ 씩 커집니다.

$$\text{가장 큰 항} = 400 + 12 \times 2 = 400 + 24 = 424 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 공차를 $12$ 번 더해서 $13$ 번째 항에서 $25$ 번째 항까지 이동하는 것은 4학년 "규칙에 따라 수 만들기" 의 건너뛰며 세기 그대로입니다.

[1] #9 3.OA.B.5 $3$ 개로 줄여서 연습해 봅시다. $4, 6, 8$ 의 합은 $18$ 이고, 이는 $3 \times 6$ ($6$ 이 가운데 항) 과 같습니다

[2] #5 6.SP.B.5 이 규칙을 원래 문제에 적용합니다. 항이 $25$ 개로 홀수이니, 합 $= 25 \times$ (가운데 항) 입니다. 양변을 $25$ 로 나누면

[3] #7 4.OA.C.5 가운데 위치를 찾습니다. $25$ 개의 한가운데는 $13$ 번째 항입니다 ($12$ 개가 왼쪽, $12$ 개가 오른쪽). 그러므로 $13$ 번째

[4] #5 4.OA.C.5 $13$ 번째 항에서 $25$ 번째 항까지는 $25 - 13 = 12$ 칸이고, 연속 짝수라 한 칸 갈 때마다 $2$ 씩 커집니다.

검토

합리성 확인: 가장 작은 항도 같이 확인합니다. $400 - 12 \times 2 = 376$ 이니 수열은 $376, 378, \ldots, 424$. 양 끝부터 짝지으면 $376 + 424 = 800$, 가운데 $400$ 을 빼면 $12$ 쌍이 남고 모두 $800$. 합 $= 12 \times 800 + 400 = 9600 + 400 = 10{,}000$. \checkmark\ 답 $424$ 는 보기 중 가장 큰 값이고, 가운데가 깔끔한 $400$ 이라는 점과도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 직접 검증합시다. 가장 큰 항을 $L$ 이라 하면 가장 작은 항은 $L - 48$ 이고, 합은 $25 \times \dfrac{L + (L - 48)}{2} = 25(L - 24)$. 이를 $10{,}000$ 으로 놓으면 $L - 24 = 400$, 즉 $L = 424$. (E) 만 식을 만족하고 (A)–(D) 는 모두 어긋납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.OA.B.5 연산의 성질을 곱셈·나눗셈 전략으로 활용 ($3$ 개 / $5$ 개의 작은 예에서 합이 "개수 $\times$ 가운데 항" 으로 인수분해됨을 확인 — 분배·교환 법칙의 응용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ($25$ 항 중 가운데 위치인 $13$ 번째 항을 찾고, 거기서 공차 $2$ 를 $12$ 번 더해 $25$ 번째 항에 도달.)
6.SP.B.5 수치 자료의 평균·중앙값으로 자료 요약 (홀수 개의 균등 간격 수열에서 평균($10{,}000 / 25 = 400$) 이 곧 가운데 값과 같다는 사실을 사용.)

⭐ 균등 간격으로 늘어선 수가 홀수 개라면, 평균이 바로 가운데 수예요 — 6학년에서 배우는 이 사실 하나로 AMC 8 문제가 나눗셈 한 번에 풀립니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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