AMC 8 · 2016 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

pythagorean-theoremarea-trianglessimilar-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

밑변이 $16$ , 높이가 $15$ 인 이등변삼각형에 반원이 내접해 있고, 그림과 같이 반원의 지름이 삼각형의 밑변 위에 놓여 있습니다. 이 반원의 반지름은 얼마일까요?

$\textbf{(A) }4 \sqrt{3}\qquad\textbf{(B) } \dfrac{120}{17}\qquad\textbf{(C) }10\qquad\textbf{(D) }\dfrac{17\sqrt{2}}{2}\qquad \textbf{(E)} \dfrac{17\sqrt{3}}{2}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4\sqrt{3}$

(B)

$\dfrac{120}{17}$

(C)

(D)

$\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$

(E)

$\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 밑변이 $16$, 높이가 $15$ 인 이등변삼각형 안에 반원이 들어 있습니다. 반원의 지름은 삼각형의 밑변 위에 놓여 있고, 곡선 부분은 두 빗변에 닿아 있습니다. 이 반원의 반지름을 구하세요.

주어진 것: 이등변삼각형의 밑변 $= 16$; 꼭짓점에서 밑변까지의 높이 $= 15$; 반원의 지름이 삼각형의 밑변 위에 놓임; 반원이 두 빗변 모두에 접함; 선택지: (A) $4\sqrt{3}$, (B) $\dfrac{120}{17}$, (C) $10$, (D) $\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$, (E) $\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$

구하는 것: 반원의 반지름 $r$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #1(그림 그리기) 은 도형 문제의 기본기입니다. 삼각형을 그리고, 꼭짓점 $C$ 에서 밑변의 중점 $D$ 까지 높이 $CD$ 를 내린 다음, 반원이 빗변에 닿는 점을 표시하면 두 가지 사실이 한눈에 보입니다 — (i) 높이 $CD$ 가 이등변삼각형을 두 변이 $8, 15$ 인 직각삼각형 두 개로 쪼개서 빗변이 유명한 $8\text{-}15\text{-}17$ 삼각형이 되고, (ii) 접점까지 그은 반지름은 빗변에 수직이라 $r$ 은 정확히 작은 직각삼각형에서 $D$ 로부터 빗변에 내린 수선(altitude) 입니다. 다음으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "반지름 구하기" 라는 큰 문제를 "작은 직각삼각형의 넓이를 두 가지 방법으로 구하기" 라는 쉬운 부분 문제로 바꿉니다 — 한 번은 직각변 $8 \times 15$ 로, 또 한 번은 빗변 $17$ 과 높이 $r$ 로 계산해서 두 값을 같다고 놓으면 일차방정식 한 줄로 $r$ 이 떨어집니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

이등변삼각형 $ABC$ 를 밑변 $AB = 16$, 꼭짓점 $C$ 로 그립니다.
$C$ 에서 밑변의 중점 $D$ 로 높이 $CD$ 를 내리면 $CD = 15$, $AD = DB = 8$ 입니다.
반원은 $D$ 를 중심으로 하고 반지름이 $r$ 이며, 빗변 $AC$ 위의 어떤 점 $E$ 에서 접합니다.
높이의 발에서 생기는 직각 $\angle ADC = 90^\circ$ 와, 반지름이 접선과 만나는 곳의 직각 $\angle DEC = 90^\circ$ 를 그림에 표시해 둡니다.

$$AD = 8,\quad CD = 15,\quad \angle ADC = 90^\circ$$

💡 높이를 긋고 직각을 표시하는 것은 4학년 "평행·수직 여부로 도형 분류하기" 그대로 — 숨어 있던 직각삼각형이 그림으로 드러나게 합니다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

직각삼각형 $\triangle ADC$ 에 피타고라스 정리를 써서 이등변삼각형의 빗변 $AC$ 의 길이를 구합니다.
직각변이 $8$ 과 $15$ 인 유명한 $8\text{-}15\text{-}17$ 정수 삼각형입니다.

$$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \;\Rightarrow\; AC = 17$$

💡 $a^2 + b^2 = c^2$ 을 직각삼각형에 적용하는 것은 8학년 피타고라스 정리 표준이고, $8\text{-}15\text{-}17$ 을 기억해 두면 제곱근 계산을 건너뛸 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 3

반원이 빗변 $AC$ 위의 점 $E$ 에서 접하므로 반지름 $DE$ 는 $AC$ 에 수직입니다.
따라서 작은 직각삼각형 $\triangle ADC$ 안에서 길이 $r$ 인 $DE$ 는 $D$ 에서 빗변 $AC$ 로 내린 수선이 됩니다.
이제 이 직각삼각형 하나를 부분 문제로 떼어 내서, 그 넓이를 두 가지 방법으로 계산합니다.

$$DE = r,\quad DE \perp AC$$

💡 $\triangle ADC$ 를 따로 떼어내고 $r$ 을 "빗변에 내린 수선" 으로 인식하는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 — 7학년 "삼각형의 넓이" 추론을 도형의 일부에 적용합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

두 직각변 $AD$ 와 $CD$ 를 밑변과 높이로 써서 $\triangle ADC$ 의 넓이를 구합니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times AD \times CD = \tfrac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60$$

💡 직각삼각형의 넓이 $= \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 는 6학년 넓이 공식으로, 따로 변형할 필요가 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.B.4 단계 5

같은 삼각형 $\triangle ADC$ 의 넓이를 이번엔 빗변 $AC$ 를 밑변, $DE = r$ 을 높이로 써서 다시 계산하고, 두 식을 같다고 놓아 일차방정식을 풀면 $r$ 이 나옵니다.

$$\tfrac{1}{2} \times 17 \times r = 60 \;\Rightarrow\; 17r = 120 \;\Rightarrow\; r = \dfrac{120}{17} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 "어느 변을 밑변으로 봐도 넓이는 같다" 는 사실이 도형 문제를 7학년 일차방정식 $17r = 120$ 한 줄로 바꿔 줍니다.

[1] #1 4.G.A.2 이등변삼각형 $ABC$ 를 밑변 $AB = 16$, 꼭짓점 $C$ 로 그립니다. $C$ 에서 밑변의 중점 $D$ 로 높이 $CD$ 를 내리면 $

[2] #1 8.G.B.7 직각삼각형 $\triangle ADC$ 에 피타고라스 정리를 써서 이등변삼각형의 빗변 $AC$ 의 길이를 구합니다. 직각변이 $8$ 과 $15$

[3] #7 7.G.B.6 반원이 빗변 $AC$ 위의 점 $E$ 에서 접하므로 반지름 $DE$ 는 $AC$ 에 수직입니다. 따라서 작은 직각삼각형 $\triangle AD

[4] #7 6.G.A.1 두 직각변 $AD$ 와 $CD$ 를 밑변과 높이로 써서 $\triangle ADC$ 의 넓이를 구합니다.

[5] #7 7.EE.B.4 같은 삼각형 $\triangle ADC$ 의 넓이를 이번엔 빗변 $AC$ 를 밑변, $DE = r$ 을 높이로 써서 다시 계산하고, 두 식을 같

검토

합리성 확인: 크기를 점검해 봅시다. $\tfrac{120}{17} \approx 7.06$ 이므로 반원의 지름은 $\approx 14.1$ 이 되어 밑변 $16$ 안에 양쪽으로 약간씩 여유를 두고 들어갑니다 — 문제의 그림과 정확히 일치합니다. 반지름이 높이 $15$ 보다 작으니 곡선 부분이 꼭짓점을 뚫지도 않습니다. 두 검토 모두 통과하므로 $r = \tfrac{120}{17}$ 은 기하학적으로 합리적입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 직접 걸러 봅시다. 반지름은 높이 $15$ 보다 작아야 하고, 지름 $2r$ 이 밑변 $16$ 안에 들어가야 하므로 $r < 8$ 이어야 합니다. 각 선택지를 수치로 바꾸면 (A) $4\sqrt{3} \approx 6.93$, (B) $\tfrac{120}{17} \approx 7.06$, (C) $10$, (D) $\tfrac{17\sqrt{2}}{2} \approx 12.02$, (E) $\tfrac{17\sqrt{3}}{2} \approx 14.72$. (C), (D), (E) 는 $r < 8$ 을 어기므로 즉시 탈락. 남은 (A) 와 (B) 중에서 $\tfrac{1}{2} \cdot 17 \cdot r = 60$ 을 정확히 만족시키는 것은 (B) 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 평행선·수직선·각의 유무로 평면도형 분류하기 (이등변삼각형, 높이 $CD$, 그림에서 핵심이 되는 직각 $\angle ADC$ 와 $\angle DEC$ 를 그려서 표시하는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형·다각형을 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 분해해 넓이 구하기 (직각삼각형 $\triangle ADC$ 의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60$ 으로 계산.)
7.G.B.6 넓이, 부피, 겉넓이를 포함한 평면·입체도형 문제 해결 ($\triangle ADC$ 의 넓이를 빗변 $17$ 과 수선 $r$ 을 이용해 두 번째 방식으로 표현하고 $60$ 과 같다고 놓는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 식·부등식을 세워 문제 해결 (일차방정식 $17r = 120$ 을 풀어 $r = \tfrac{120}{17}$ 을 얻는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형의 변의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리 적용 ($AC^2 = 8^2 + 15^2$ 로부터 이등변삼각형의 빗변 $AC = 17$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 25번 문제는 8학년 피타고라스 정리와 "어느 변을 밑변으로 봐도 삼각형의 넓이는 같다" 는 한 가지 트릭만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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