AMC 8 · 2017 · #19

학년 6 number-theory

factorialprime-factorizationexponentsfactors identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: factorialprime-factorizationexponents

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

자연수 $M$ 에 대해 기호 $M!$ 은 $1$ 부터 $M$ 까지의 정수의 곱을 뜻합니다. 합 $98!+99!+100!$ 이 $5^n$ 으로 나누어떨어지게 하는 가장 큰 정수 $n$ 은 얼마입니까?

$\textbf{(A) }23 \qquad \textbf{(B) }24 \qquad \textbf{(C) }25 \qquad \textbf{(D) }26 \qquad \textbf{(E) }27$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $M! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots M$ 으로 정의되는 팩토리얼을 떠올립시다. $5^n$ 이 $98! + 99! + 100!$ 의 약수가 되도록 하는 가장 큰 정수 $n$ 을 구해야 합니다. 즉, 이 합을 소인수분해했을 때 소수 $5$ 가 몇 번 등장하는지를 세는 문제입니다.

주어진 것: 식은 $98! + 99! + 100!$; $M!$ 은 $1$ 부터 $M$ 까지의 곱; 이 합 전체를 나누는 가장 큰 $5$ 의 거듭제곱을 찾는 것이 목적; 선택지: (A) $23$, (B) $24$, (C) $25$, (D) $26$, (E) $27$

구하는 것: $5^n \mid (98! + 99! + 100!)$ 을 만족하는 가장 큰 정수 $n$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심입니다. $98! + 99! + 100!$ 에는 공통 인수 $98!$ 이 들어 있으니, 이를 묶어내면 문제가 두 개의 독립된 세기 문제로 깔끔하게 갈라집니다 — "$98!$ 안에 $5$ 가 몇 개인가?" 와 "괄호 안에 남은 수에 $5$ 가 몇 개인가?". 첫 번째 부분은 도구 #5(패턴 찾기)로 처리합니다 — $5$ 의 배수마다 $5$ 가 하나씩, $25$ 의 배수마다 하나씩 더, … 깔끔하게 반복되는 규칙입니다. 마지막에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 개 선택지와 대조해 답을 확정합니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 1

가장 작은 팩토리얼인 $98!$ 을 세 항에서 공통으로 묶어냅니다.
$99! = 99 \cdot 98!$ 이고 $100! = 100 \cdot 99 \cdot 98!$ 이므로, 합 전체가 "$98!$ $\times$ (직접 계산 가능한 작은 수)" 형태가 됩니다.

$$98! + 99! + 100! = 98!\,(1 + 99 + 100 \cdot 99)$$

💡 공통 인수 $98!$ 을 밖으로 끌어내는 것은 분배법칙 그대로입니다 — 합을 곱으로 바꾸면 각 부분에서 소인수를 세기 쉬워집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 2

괄호 안을 정리합니다.
$100 \cdot 99 = 9900$ 이고 $1 + 99 + 9900 = 10000$ 이므로, 합은 $98! \times 10000$ 으로 줄어듭니다.

$$1 + 99 + 100 \cdot 99 = 1 + 99 + 9900 = 10000$$

💡 여러 자릿수의 곱셈과 덧셈은 4학년 계산 기능 — 유일한 "기술" 은 묶어내기를 먼저 한 선택입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 3

$10000$ 안의 $5$ 개수를 셉니다.
$10000$ 을 $10$ 의 거듭제곱으로 쓰고 각 $10$ 을 $2 \times 5$ 로 쪼개면, $5$ 가 정확히 네 개 들어 있음을 바로 알 수 있습니다.

$$10000 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$$

💡 $10000 = 10^4$ 로 쓰고 지수법칙으로 풀어쓰는 것이 6학년 "자연수 지수" 개념 — $5$ 로 계속 나누는 것보다 훨씬 빠릅니다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 4

$98!$ 안의 $5$ 개수는 패턴으로 셉니다.
$1, 2, \ldots, 98$ 중에서 $5$ 의 배수마다 $5$ 가 하나, $25$ 의 배수마다 $5$ 가 하나 더 숨어 있고, $125 > 98$ 이라 거기서 멈추면 됩니다.
배수의 개수를 세서 더합니다.

$98$ 이하의 $5$ 의 배수: $\lfloor 98/5 \rfloor = 19$;\; $25$ 의 배수: $\lfloor 98/25 \rfloor = 3$;\; 합계 $= 19 + 3 = 22$

💡 $5$ 의 배수는 $5$ 를 하나씩 내놓고, $25$ 의 배수에는 $5$ 가 하나 더 숨어 있어서 한 번 더 세 줍니다 — GCF·LCM 구할 때 쓰는 소인수 세기와 같은 원리입니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 5

두 개수를 더합니다.
$98! \times 10000$ 은 곱이므로, 전체 $5$ 의 개수는 각 인수의 $5$ 의 개수의 합 — $22 + 4 = 26$.
따라서 $n = 26$, 답은 (D) 입니다.
도구 #3 으로 (A)$23$, (B)$24$, (C)$25$, (E)$27$ 는 모두 탈락 — $10000$ 에서 나온 $5$ 네 개를 빠뜨리거나 $25$ 의 배수에서 나오는 추가 $5$ 를 놓친 답들입니다.

$$n = 22 + 4 = 26 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 곱셈에서 지수는 더해집니다: $5^{22} \cdot 5^4 = 5^{26}$ — 이미 인수분해해 둔 두 수에 6학년 지수 법칙을 그대로 쓴 것입니다.

[1] #7 6.EE.A.3 가장 작은 팩토리얼인 $98!$ 을 세 항에서 공통으로 묶어냅니다. $99! = 99 \cdot 98!$ 이고 $100! = 100 \cdot

[2] #7 4.NBT.B.5 괄호 안을 정리합니다. $100 \cdot 99 = 9900$ 이고 $1 + 99 + 9900 = 10000$ 이므로, 합은 $98! \time

[3] #7 6.EE.A.1 $10000$ 안의 $5$ 개수를 셉니다. $10000$ 을 $10$ 의 거듭제곱으로 쓰고 각 $10$ 을 $2 \times 5$ 로 쪼개면,

[4] #5 6.NS.B.4 $98!$ 안의 $5$ 개수는 패턴으로 셉니다. $1, 2, \ldots, 98$ 중에서 $5$ 의 배수마다 $5$ 가 하나, $25$ 의 배수

[5] #3 6.EE.A.1 두 개수를 더합니다. $98! \times 10000$ 은 곱이므로, 전체 $5$ 의 개수는 각 인수의 $5$ 의 개수의 합 — $22 + 4

검토

합리성 확인: 답 $26$ 은 자연스러운 상한·하한 사이에 정확히 들어갑니다. 하한: $98!$ 자체에 이미 $5$ 가 $22$ 개 들어 있고, 합은 $98!$ 의 배수이므로 적어도 $22$ — 따라서 $22$ 미만 답은 모두 탈락. 상한: 괄호의 결과 $10000 = 2^4 \cdot 5^4$ 가 $5$ 를 정확히 네 개 더 보태고, 그 외에 새로 $5$ 를 만드는 부분은 없으므로 총 개수는 $22 + 4 = 26$ 에서 멈춥니다. 답 $26$ 은 정확히 이 상한값과 일치하고, (D) 와 맞습니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 같은 구조를 작은 수로 실험해 봅니다 — $3! + 4! + 5!$ 의 경우. 묶어내면 $3!(1 + 4 + 4 \cdot 5) = 6 \cdot 25 = 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ 가 되어 $5$ 의 지수는 $2$ 입니다. 괄호 부분이 $1 + 4 + 20 = 25 = 5^2$ 으로 $5$ 두 개를 통째로 내놓고, $3!$ 에는 $5$ 가 하나도 없습니다. 이 작은 버전이 $98! + 99! + 100!$ 에서 일어나는 일과 똑같은 구조 — 작은 팩토리얼이 이미 가지고 있는 $5$ 들 위에 괄호가 "보너스 $5$" 를 얹어 주는 셈입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.5 최대 네 자릿수 정수와 한 자릿수 정수의 곱셈 (괄호 안의 식을 정리하기 위해 $100 \cdot 99 = 9900$ 과 $1 + 99 + 9900 = 10000$ 을 계산하는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식의 쓰기와 계산 ($10000 = 10^4 = 2^4 \cdot 5^4$ 로 다시 쓰고, 마지막에 $5^{22} \cdot 5^4 = 5^{26}$ 으로 지수 덧셈 법칙을 적용하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 (분배법칙으로 $98! + 99! + 100!$ 에서 공통 인수 $98!$ 을 밖으로 묶어내는 데 사용.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($5$ 의 배수와 $25$ 의 배수를 세는 방식으로 $98!$ 안의 소인수 $5$ 의 개수를 세는 데 사용 — GCF·LCM 에서 쓰는 소인수 세기와 같은 기법.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 지수와 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 공통 인수를 묶어내고, 각 조각에서 $5$ 가 몇 개인지 세기만 하면 돼요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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