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AMC 8 · 2017 · #22

학년 8 geometry-2dalgebra
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
similar-trianglespythagorean-theoremratio-proportionarea-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremsimilar-trianglesratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

직각삼각형 ABCABC 에서 AC=12AC=12, BC=5BC=5 이고, 각 CC 는 직각입니다. 그림과 같이 이 삼각형에 반원이 내접해 있습니다. 이 반원의 반지름은 얼마입니까?

(A) 76(B) 135(C) 5918(D) 103(E) 6013\textbf{(A) }\frac{7}{6}\qquad\textbf{(B) }\frac{13}{5}\qquad\textbf{(C) }\frac{59}{18}\qquad\textbf{(D) }\frac{10}{3}\qquad\textbf{(E) }\frac{60}{13}

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$frac{7}{6}$
(B)
$frac{13}{5}$
(C)
$frac{59}{18}$
(D)
$frac{10}{3}$
(E)
$frac{60}{13}$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각삼각형 $ABC$ 에서 $C$ 가 직각이고 두 직각변은 $AC = 12$, $BC = 5$ 입니다. 반원 하나가 삼각형 내부에 그려져 있는데, 평평한 지름이 변 $AC$ 위에 놓여 있고(한 끝이 $C$ 점), 곡선 부분이 빗변 $AB$ 에 딱 닿아 있습니다. 이 반원의 반지름 $r$ 을 구하세요.

주어진 것: $\triangle ABC$ 는 $C$ 에서 직각; 두 직각변 $AC = 12$, $BC = 5$; 반원의 지름이 $AC$ 위에 놓이고 빗변 $AB$ 에 접함; 선택지: (A) $\tfrac{7}{6}$, (B) $\tfrac{13}{5}$, (C) $\tfrac{59}{18}$, (D) $\tfrac{10}{3}$, (E) $\tfrac{60}{13}$

구하는 것: 내접한 반원의 반지름 $r$

이해

문제 재정리: 직각삼각형 $ABC$ 에서 $C$ 가 직각이고 두 직각변은 $AC = 12$, $BC = 5$ 입니다. 반원 하나가 삼각형 내부에 그려져 있는데, 평평한 지름이 변 $AC$ 위에 놓여 있고(한 끝이 $C$ 점), 곡선 부분이 빗변 $AB$ 에 딱 닿아 있습니다. 이 반원의 반지름 $r$ 을 구하세요.

주어진 것: $\triangle ABC$ 는 $C$ 에서 직각; 두 직각변 $AC = 12$, $BC = 5$; 반원의 지름이 $AC$ 위에 놓이고 빗변 $AB$ 에 접함; 선택지: (A) $\tfrac{7}{6}$, (B) $\tfrac{13}{5}$, (C) $\tfrac{59}{18}$, (D) $\tfrac{10}{3}$, (E) $\tfrac{60}{13}$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

주어진 asy 그림은 출발점일 뿐이고, 핵심은 도구 #1(그림 그리기) 로 보이지 않는 정보를 그림 위에 직접 그려 넣는 것입니다 — $AC$ 위의 중심 $O$, $BC$ 쪽으로의 반지름 $OC = r$, 그리고 빗변 $AB$ 에 수직으로 그은 반지름 $OT$. 이렇게 그림이 완성되면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 문제가 두 조각이 됩니다 — 먼저 피타고라스 정리로 $AB$ 를 구하고, 큰 직각삼각형 $\triangle ABC$ 안에 숨어 있는 작은 직각삼각형 $\triangle AOT$ 를 찾는 것이죠. 두 삼각형은 각 $A$ 를 공유하고 둘 다 직각을 가지므로 닮음입니다. 닮음 비례식이 $r$ 에 대한 일차방정식으로 떨어지고, 마지막은 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 마무리합니다. (검토 단계에서는 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지 다섯 개 중 비례식을 만족시키는 값을 직접 확인합니다.)

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 1
  • 먼저 빗변 $AB$ 의 길이를 피타고라스 정리로 구합니다.
  • 두 직각변이 $12$ 와 $5$ 인 고전적인 피타고라스 수입니다.
$$AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

💡 직각삼각형의 두 변에서 빗변을 끌어내는 피타고라스 정리는 8학년의 대표 도구입니다.

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 2
  • 반원의 중심 $O$ 를 $AC$ 위에 놓고 $OC = r$ 로 잡습니다.
  • 반원이 빗변 $AB$ 에 닿는 점을 $T$ 라 하면, 접선·반지름 성질에 따라 $OT \perp AB$ 이고 $OT = r$ 입니다.
  • 또한 $AO = AC - OC = 12 - r$ 입니다.
$$OC = r, \quad OT = r, \quad OT \perp AB, \quad AO = 12 - r$$

💡 그림 위에 중심·접점·직각 표시를 추가하는 것은 점·선·각을 그리고 표시하는 4학년 기하 단계입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3
  • 이제 두 닮은 직각삼각형을 찾아냅니다.
  • 작은 삼각형 $\triangle AOT$ 와 큰 삼각형 $\triangle ABC$ 는 모두 각 $A$ 를 공유하고, 각각 $T$ 와 $C$ 에서 직각을 가집니다.
  • 따라서 AA 닮음 조건에 의해 두 삼각형은 닮음이고, 대응변은 $OT \leftrightarrow BC$, $AO \leftrightarrow AB$ 입니다.
$$\triangle AOT \sim \triangle ABC \;\Rightarrow\; \dfrac{OT}{BC} = \dfrac{AO}{AB}$$

💡 공유각과 직각으로 AA 닮음을 끌어내는 비형식적 논증은 8학년 표준이 다루는 영역입니다.

#13 대수로 바꾸기 7.RP.A.2 단계 4

비례식에 길이를 대입하고 $r$ 에 대해 정리합니다.

$$\dfrac{r}{5} = \dfrac{12 - r}{13} \;\Longrightarrow\; 13r = 5(12 - r) \;\Longrightarrow\; 13r = 60 - 5r \;\Longrightarrow\; 18r = 60 \;\Longrightarrow\; r = \dfrac{60}{18} = \dfrac{10}{3}$$

💡 비례식을 교차곱셈으로 풀어 미지수를 구하는 것은 7학년 비례 관계 표준의 핵심 동작입니다.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.2 단계 5

$r = \tfrac{10}{3}$ 을 선택지와 맞춰 보면 정확히 (D) 와 일치합니다.

$$r = \dfrac{10}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 구한 분수를 선택지 분수들과 비교해 같은 값을 찾는 것은 4학년 분수 비교 단계입니다.

[1] #7 8.G.B.7 먼저 빗변 $AB$ 의 길이를 피타고라스 정리로 구합니다. 두 직각변이 $12$ 와 $5$ 인 고전적인 피타고라스 수입니다.
[2] #1 4.G.A.1 반원의 중심 $O$ 를 $AC$ 위에 놓고 $OC = r$ 로 잡습니다. 반원이 빗변 $AB$ 에 닿는 점을 $T$ 라 하면, 접선·반지름 성질
[3] #7 8.G.A.5 이제 두 닮은 직각삼각형을 찾아냅니다. 작은 삼각형 $\triangle AOT$ 와 큰 삼각형 $\triangle ABC$ 는 모두 각 $A$
[4] #13 7.RP.A.2 비례식에 길이를 대입하고 $r$ 에 대해 정리합니다.
[5] #3 4.NF.A.2 $r = \tfrac{10}{3}$ 을 선택지와 맞춰 보면 정확히 (D) 와 일치합니다.

검토

합리성 확인: 반원은 짧은 직각변 $BC = 5$ 안에 들어가야 하므로 반지름은 반드시 $5$ 보다 작아야 합니다. 답 $r = \tfrac{10}{3} \approx 3.33$ 은 $5$ 보다 충분히 작고, 동시에 그림 속 반원이 $AC$ 의 상당 부분을 차지할 만큼 크다는 점과도 잘 맞습니다 — asy 그림에서 호가 대략 $x = 5.33$ 부터 $x = 12$ 까지 그려져 있으니 반지름이 $\tfrac{12 - 5.33}{2} \approx 3.33$ 으로 정확히 일치합니다. 면적으로 다시 검산해도 같은 답이 나옵니다: $\triangle ABC$ 의 면적 $30$ 을 $\triangle BCO$(면적 $\tfrac{5r}{2}$) 와 $\triangle ABO$(면적 $\tfrac{13r}{2}$) 로 나누면 $\tfrac{18r}{2} = 30 \Rightarrow r = \tfrac{10}{3}$. 다른 길, 같은 답.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 비례식에 대입해 보는 방법이 있습니다. 후보 반지름은 $\tfrac{7}{6} \approx 1.17$, $\tfrac{13}{5} = 2.6$, $\tfrac{59}{18} \approx 3.28$, $\tfrac{10}{3} \approx 3.33$, $\tfrac{60}{13} \approx 4.62$ 입니다. 비례식 $\tfrac{r}{5} = \tfrac{12 - r}{13}$ 은 $13r + 5r = 60$, 즉 $r = \tfrac{60}{18}$ 로 정리되므로 정확히 (D) 만 만족하고 나머지 선택지는 $13r + 5r = 60$ 을 만족시키지 못해 모두 탈락합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

  • 4.G.A.1 점, 선, 선분, 반직선, 각을 그리고 도형에서 구별하기 (주어진 그림 위에 반원의 중심 $O$, 접점까지의 반지름 $OT$, $T$ 에서의 직각 표시를 그려 넣어 풀이의 토대가 되는 구도를 시각화하는 데 사용.)
  • 4.NF.A.2 분자와 분모가 다른 두 분수 비교하기 (계산해서 얻은 $r = \tfrac{10}{3}$ 을 다섯 개 선택지 분수와 비교해 (D) 임을 확인하는 데 사용.)
  • 7.RP.A.2 두 양 사이의 비례 관계를 인식하고 표현하기 (닮음에서 나온 비례식 $\tfrac{r}{5} = \tfrac{12 - r}{13}$ 을 교차곱셈해 $r$ 에 대한 일차방정식으로 풀어내는 데 사용.)
  • 8.G.A.5 각의 합과 외각 등에 관한 사실을 비형식적 논증으로 세우기 (공유하는 각 $A$ 와 직각이라는 조건만으로 $\triangle AOT \sim \triangle ABC$ 임을 AA 닮음 조건으로 주장하는 데 사용.)
  • 8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 모르는 변의 길이 구하기 (큰 직각삼각형의 빗변 $AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 피타고라스 정리와 닮음 추론만 알면 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 피타고라스 정리와 닮음 추론만 알면 풀 수 있어요!

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