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AMC 8 · 2018 · #12

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition

rateratio-proportionfraction-arithmetic dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

스리의 자동차 시계는 정확하지 않아서 일정한 비율로 시간이 빨라집니다. 어느 날 그가 쇼핑을 시작할 때, 자동차 시계와 (정확한) 손목시계가 모두 정오 12:00을 가리켰습니다. 쇼핑을 마쳤을 때 손목시계는 12:30, 자동차 시계는 12:35를 가리켰습니다. 그날 늦은 시간에 스리는 손목시계를 잃어버렸습니다. 자동차 시계를 보니 7:00을 가리키고 있었습니다. 실제 시각은 몇 시입니까?

$\textbf{ (A) }5:50\qquad\textbf{(B) }6:00\qquad\textbf{(C) }6:30\qquad\textbf{(D) }6:55\qquad \textbf{(E) }8:10$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

5:50

(B)

6:00

(C)

6:30

(D)

6:55

(E)

8:10

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 스리의 자동차 시계는 일정한 비율로 빨라집니다. 정오에 정확한 손목시계와 자동차 시계 모두 $12{:}00$ 을 가리켰는데, 손목시계가 $12{:}30$ 이 되었을 때 자동차 시계는 이미 $12{:}35$ 를 가리키고 있습니다. 그 날 늦게 손목시계를 잃어버린 스리가 자동차 시계를 보니 $7{:}00$ 이었습니다. 실제 시각은 몇 시일까요?

주어진 것: 출발 시점에 두 시계 모두 정오 $12{:}00$ 을 가리킴; 정확한 손목시계가 $30$ 분 흐르는 동안 자동차 시계는 $35$ 분 흐름; 자동차 시계는 일정한 비율로 빨라짐; 그 후 자동차 시계가 $7{:}00$ 을 가리킴; 선택지: (A) $5{:}50$, (B) $6{:}00$, (C) $6{:}30$, (D) $6{:}55$, (E) $8{:}10$

구하는 것: 자동차 시계가 $7{:}00$ 을 가리킬 때의 실제(정확한) 시각

이해

문제 재정리: 스리의 자동차 시계는 일정한 비율로 빨라집니다. 정오에 정확한 손목시계와 자동차 시계 모두 $12{:}00$ 을 가리켰는데, 손목시계가 $12{:}30$ 이 되었을 때 자동차 시계는 이미 $12{:}35$ 를 가리키고 있습니다. 그 날 늦게 손목시계를 잃어버린 스리가 자동차 시계를 보니 $7{:}00$ 이었습니다. 실제 시각은 몇 시일까요?

주어진 것: 출발 시점에 두 시계 모두 정오 $12{:}00$ 을 가리킴; 정확한 손목시계가 $30$ 분 흐르는 동안 자동차 시계는 $35$ 분 흐름; 자동차 시계는 일정한 비율로 빨라짐; 그 후 자동차 시계가 $7{:}00$ 을 가리킴; 선택지: (A) $5{:}50$, (B) $6{:}00$, (C) $6{:}30$, (D) $6{:}55$, (E) $8{:}10$

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기

시간의 "단위" 가 두 종류 — 자동차 시계 분과 실제 분 — 인 비율 문제입니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 로 두 단위를 분리해서 보면, 주어진 자료 "실제 $30$ 분 동안 자동차는 $35$ 분" 이 두 단위 사이의 환율 역할을 합니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 이 자료를 "실제 $6$ 분 = 자동차 $7$ 분" 이라는 깔끔한 반복 블록으로 다듬어 두면, 자동차 시계 $420$ 분 안에 이 블록이 몇 개 들어가는지만 세면 됩니다. 마지막 검증은 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 거꾸로 대입해 빠르게 확인합니다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.1 단계 1

맞춰진 두 시간 자료를 비율로 옮겨 적습니다.
실제 $30$ 분이 흐르는 동안 자동차 시계는 $5$ 분만큼 더 가서 총 $35$ 분이 되므로, 자동차 시계 시간 대 실제 시간의 비율은 $35{:}30$ 입니다.
양쪽을 $5$ 로 나누면 가장 간단한 형태인 $7{:}6$ 이 됩니다.

$$\dfrac{\text{자동차 분}}{\text{실제 분}} = \dfrac{35}{30} = \dfrac{7}{6}$$

💡 맞춰진 두 양(자동차 시간과 실제 시간) 사이의 비율을 만드는 것은 6학년 비율 개념 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 6.RP.A.1 단계 2

비율을 반복되는 패턴으로 다시 풀어 씁니다 — 실제로 $6$ 분이 흐를 때마다 자동차 시계는 $7$ 분씩 갑니다.
자동차 시계가 "일정한 비율" 로 빨라진다고 했으므로 이 블록은 시간에 관계없이 똑같이 반복되어, 얼마든지 큰 시간 구간으로도 늘릴 수 있습니다.

$$\underbrace{\text{실제 } 6 \text{ 분}}_{\text{한 블록}} \;\longleftrightarrow\; \underbrace{\text{자동차 } 7 \text{ 분}}_{\text{한 블록}}$$

💡 한 번의 자료를 "$6$ 과 $7$" 짜리 반복 블록으로 바꾸면 어떤 길이의 시간에도 가져다 쓸 수 있는 패턴이 됩니다.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 3

정오 이후 자동차 시계가 얼마나 흘렀는지 셉니다.
자동차 시계는 $12{:}00$ 에서 출발해 지금 $7{:}00$ 을 가리키므로 자동차 시계 기준 $7$ 시간이 지났습니다.
비율의 단위와 맞추기 위해 분으로 환산하면 $7 \times 60 = 420$ (자동차 분) 입니다.

$$7 \text{ 시간} \times 60 \tfrac{\text{분}}{\text{시간}} = 420 \text{ 자동차 분}$$

💡 같은 시간 체계 안에서 시간을 분으로 바꾸는 것은 5학년 표준 측정 단위 환산입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

자동차 시계 $420$ 분 안에 "자동차 $7$ 분" 짜리 블록이 몇 개 들어가는지 셉니다.
$420 \div 7 = 60$ 이므로 정확히 $60$ 개의 블록이 지나갔고, 한 블록은 실제 $6$ 분에 해당하므로 실제 흐른 시간은 $60 \times 6 = 360$ (실제 분) 입니다.

$$\dfrac{420 \text{ 자동차 분}}{7 \tfrac{\text{자동차 분}}{\text{블록}}} = 60 \text{ 블록} \;\Rightarrow\; 60 \times 6 = 360 \text{ 실제 분}$$

💡 "블록당 실제 $6$ 분" 이라는 단위율로 개수를 곱해 키우는 것은 6학년 비율·비례 추론 그대로입니다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 5

실제 $360$ 분을 다시 시간으로 환산한 뒤 정오 시각에 더합니다.
$360 \div 60 = 6$ 시간이고, $12{:}00 + 6{:}00 = 6{:}00$ 이므로 실제 시각은 $6{:}00$ — 선택지 (B) 와 일치합니다.

$$360 \text{ 분} \div 60 = 6 \text{ 시간}, \quad 12{:}00 + 6{:}00 = 6{:}00 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 출발 시각에 경과 시간을 더하는 것은 4학년 시간 문장제의 기본 동작입니다.

[1] #8 6.RP.A.1 맞춰진 두 시간 자료를 비율로 옮겨 적습니다. 실제 $30$ 분이 흐르는 동안 자동차 시계는 $5$ 분만큼 더 가서 총 $35$ 분이 되므로,

[2] #5 6.RP.A.1 비율을 반복되는 패턴으로 다시 풀어 씁니다 — 실제로 $6$ 분이 흐를 때마다 자동차 시계는 $7$ 분씩 갑니다. 자동차 시계가 "일정한 비율"

[3] #8 5.MD.A.1 정오 이후 자동차 시계가 얼마나 흘렀는지 셉니다. 자동차 시계는 $12{:}00$ 에서 출발해 지금 $7{:}00$ 을 가리키므로 자동차 시계

[4] #8 6.RP.A.3 자동차 시계 $420$ 분 안에 "자동차 $7$ 분" 짜리 블록이 몇 개 들어가는지 셉니다. $420 \div 7 = 60$ 이므로 정확히 $6

[5] #8 4.MD.A.2 실제 $360$ 분을 다시 시간으로 환산한 뒤 정오 시각에 더합니다. $360 \div 60 = 6$ 시간이고, $12{:}00 + 6{:}00

검토

합리성 확인: 자동차 시계는 실제 시간의 $\tfrac{7}{6}$ 배 속도로 흐르므로, 같은 시간 동안 항상 실제보다 더 큰 숫자를 가리켜야 합니다. 자동차 시계가 $7$ 시간 흘렀다면 실제 시간은 그보다 짧아야 하고, $6$ 시간은 실제로 더 짧으니 방향이 맞습니다. 또한 $7 \times \tfrac{6}{7} = 6$ 으로 딱 떨어져 분 단위 우수리가 남지 않는데, 이는 정확히 (B) $6{:}00$ 과 맞아 떨어집니다. (A) $5{:}50$ 이나 (C) $6{:}30$ 이 답이 되려면 비율이 $7{:}6$ 이 아니어야 하고, (D) 와 (E) 는 너무 멀어 비현실적입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지를 거꾸로 넣어 봅니다 — 후보 실제 시각 $T_A$ 마다 자동차 시계 표시 $T_C = \tfrac{7}{6} T_A$ 를 계산합니다. (A) $5{:}50$ ($350$ 분) $\rightarrow T_C \approx 408.3$ 분으로 $420$ 이 아님. (B) $6{:}00$ ($360$ 분) $\rightarrow T_C = 420$ 분, 즉 자동차 시계로 정확히 $7{:}00$. ✓. 나머지 선택지는 모두 $420$ 분에서 벗어나므로 (B) 가 유일한 답으로 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.2 거리, 시간, 액체의 부피, 돈을 포함한 문장제 해결 (정오 시각에 경과 시간 $6$ 시간을 더해 실제 시각 $6{:}00$ 을 만드는 데 사용.)
5.MD.A.1 같은 측정 체계 안에서 단위가 다른 표준 측정 단위 환산 (자동차 시계 $7$ 시간을 $420$ 분으로 환산해 $7{:}6$ 비율의 단위와 맞추는 데 사용.)
6.RP.A.1 비율 개념의 이해와 비율 언어 사용 ("자동차 $35$ 분 : 실제 $30$ 분" 자료를 $7{:}6$ 비율과 "실제 $6$ 대 자동차 $7$" 반복 블록으로 읽어 내는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (자동차 시계 $420$ 분에 $7{:}6$ 비율을 적용해 실제로 흐른 $360$ 분을 되찾아 내는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 추론 — "자동차 $35$ 분 : 실제 $30$ 분" 을 $7{:}6$ 으로 정리하는 — 만 알면 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 추론 — "자동차 $35$ 분 : 실제 $30$ 분" 을 $7{:}6$ 으로 정리하는 — 만 알면 풀 수 있어요!