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AMC 8 · 2018 · #23

학년 7 probabilitycounting
유형 Overlap / Complement Counting
probability-basiccombinations-basiccomplementary-countingsystematic-enumeration complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: combinations-basicfraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정팔각형의 8개 꼭짓점 중에서 임의로 3개를 선택하여 삼각형을 만듭니다. 이 삼각형의 변 중에서 적어도 하나가 정팔각형의 변이 될 확률은 얼마입니까?

(A) 27(B) 542(C) 1114(D) 57(E) 67\textbf{(A) } \frac{2}{7} \qquad \textbf{(B) } \frac{5}{42} \qquad \textbf{(C) } \frac{11}{14} \qquad \textbf{(D) } \frac{5}{7} \qquad \textbf{(E) } \frac{6}{7}

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{2}{7}$
(B)
$\frac{5}{42}$
(C)
$\frac{11}{14}$
(D)
$\frac{5}{7}$
(E)
$\frac{6}{7}$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정팔각형의 $8$ 개 꼭짓점을 둘레를 따라 순서대로 $V_1, V_2, \ldots, V_8$ 이라 부릅시다. 이 $8$ 개 중에서 $3$ 개를 무작위로 골라 삼각형을 만들 때, 그 삼각형의 변 중 적어도 한 변이 정팔각형의 변과 일치할 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 정팔각형의 꼭짓점은 $8$ 개, 변도 $8$ 개; 두 꼭짓점이 정팔각형의 한 변이 되려면, 둘레 순서 $V_1 V_2 \cdots V_8 V_1$ 에서 서로 이웃해야 함; $8$ 개의 꼭짓점 중 $3$ 개를 무작위로 골라 삼각형을 만듦; 선택지: (A) $\tfrac{2}{7}$, (B) $\tfrac{5}{42}$, (C) $\tfrac{11}{14}$, (D) $\tfrac{5}{7}$, (E) $\tfrac{6}{7}$

구하는 것: 만들어진 삼각형의 세 변 중 적어도 한 변이 정팔각형의 변과 일치할 확률

이해

문제 재정리: 정팔각형의 $8$ 개 꼭짓점을 둘레를 따라 순서대로 $V_1, V_2, \ldots, V_8$ 이라 부릅시다. 이 $8$ 개 중에서 $3$ 개를 무작위로 골라 삼각형을 만들 때, 그 삼각형의 변 중 적어도 한 변이 정팔각형의 변과 일치할 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 정팔각형의 꼭짓점은 $8$ 개, 변도 $8$ 개; 두 꼭짓점이 정팔각형의 한 변이 되려면, 둘레 순서 $V_1 V_2 \cdots V_8 V_1$ 에서 서로 이웃해야 함; $8$ 개의 꼭짓점 중 $3$ 개를 무작위로 골라 삼각형을 만듦; 선택지: (A) $\tfrac{2}{7}$, (B) $\tfrac{5}{42}$, (C) $\tfrac{11}{14}$, (D) $\tfrac{5}{7}$, (E) $\tfrac{6}{7}$

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여사건 세기)

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

"적어도 한 변" 이라는 표현은 도구 #16(여사건) 의 대표 트리거입니다. 공유 변이 한 개인 경우와 두 개인 경우를 따로 세려면 경우가 겹쳐 번거롭지만, 반대 사건인 "공유 변이 하나도 없다" 는 "세 꼭짓점 중 어느 둘도 이웃하지 않는다" 라는 단 하나의 조건으로 깔끔하게 바뀝니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 가장 작은 꼭짓점을 고정해 이웃하지 않는 세 꼭짓점 묶음을 차례로 적어 보면 빠르게 셀 수 있고, 마지막에 $1$ 에서 빼면 문제에서 묻는 확률이 나옵니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1
  • 표본 공간의 크기를 구합니다.
  • $8$ 개의 꼭짓점에서 순서를 따지지 않고 $3$ 개를 고르는 경우의 수이므로 조합 $\binom{8}{3}$ 입니다.
$$\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

💡 순서가 상관없는 묶음을 세는 것은 조합이며, 7학년 "표·목록을 이용한 복합 사건 세기" 에 해당합니다.

#16 관점 바꾸기 (여사건 세기) 7.SP.C.7 단계 2
  • 관점을 여사건으로 바꿉니다.
  • "적어도 한 변 공유" 는 공유 변이 $1$ 개인지 $2$ 개인지에 따라 경우가 나뉘어 직접 세기 번거롭습니다.
  • 반대 사건인 "공유 변이 하나도 없음" 은 "고른 세 꼭짓점 중 어느 둘도 이웃하지 않음" 이라는 한 가지 조건과 같으므로 이쪽을 셉니다.
$$P(\text{적어도 한 변}) = 1 - P(\text{한 변도 없음})$$

💡 "적어도 하나" 를 "하나도 없음" 으로 뒤집는 것은 7학년 확률 모델의 여사건 규칙입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3
  • 어느 둘도 이웃하지 않는 세 꼭짓점 묶음 $\{V_a, V_b, V_c\}$ ($a < b < c$) 를 빠짐없이 나열합니다.
  • 정팔각형은 원형 배열이라 $V_1$ 과 $V_8$ 도 이웃입니다.
  • $a = 1$ 로 고정하면 $b \neq 2$ 이고 $c \neq 8$ 이며 $c \neq b+1$ 이어야 하므로 가능한 묶음은 $\{1,3,5\}, \{1,3,6\}, \{1,3,7\}, \{1,4,6\}, \{1,4,7\}, \{1,5,7\}$ 의 $6$ 개입니다.
  • 원형 대칭성과 함께, 원 위에서 이웃하지 않는 $k$ 개를 $n$ 자리에서 고르는 공식 $\dfrac{n}{n-k}\binom{n-k}{k}$ ($n=8, k=3$) 로 확인합니다.
$$\dfrac{8}{8-3}\binom{8-3}{3} = \dfrac{8}{5}\binom{5}{3} = \dfrac{8}{5} \times 10 = 16$$

💡 직접 나열한 결과와 공식 결과가 모두 $16$ 개로 맞아떨어집니다.

#16 관점 바꾸기 (여사건 세기) 7.SP.C.7 단계 4
  • 여사건 확률을 구합니다.
  • 동등한 $56$ 개의 삼각형 중 정팔각형과 변을 전혀 공유하지 않는 삼각형이 $16$ 개입니다.
$$P(\text{공유 변 없음}) = \dfrac{16}{56} = \dfrac{2}{7}$$

💡 확률 $=$ (유리한 경우의 수) $\div$ (전체 경우의 수) 이라는 7학년 확률 모델 그대로입니다.

#16 관점 바꾸기 (여사건 세기) 4.NF.A.1 단계 5

$1$ 에서 빼서 원래 "적어도 한 변 공유" 확률을 복원하고, 약분된 형태로 정리합니다.

$$P(\text{적어도 한 변 공유}) = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $1$ 에서 분수를 빼고 $\tfrac{5}{7}$ 이 기약분수임을 확인하는 것은 4학년 분수 동치 개념입니다.

[1] #2 7.SP.C.8 표본 공간의 크기를 구합니다. $8$ 개의 꼭짓점에서 순서를 따지지 않고 $3$ 개를 고르는 경우의 수이므로 조합 $\binom{8}{3}$ 입
[2] #16 7.SP.C.7 관점을 여사건으로 바꿉니다. "적어도 한 변 공유" 는 공유 변이 $1$ 개인지 $2$ 개인지에 따라 경우가 나뉘어 직접 세기 번거롭습니다. 반
[3] #2 7.SP.C.8 어느 둘도 이웃하지 않는 세 꼭짓점 묶음 $\{V_a, V_b, V_c\}$ ($a < b < c$) 를 빠짐없이 나열합니다. 정팔각형은 원형
[4] #16 7.SP.C.7 여사건 확률을 구합니다. 동등한 $56$ 개의 삼각형 중 정팔각형과 변을 전혀 공유하지 않는 삼각형이 $16$ 개입니다.
[5] #16 4.NF.A.1 $1$ 에서 빼서 원래 "적어도 한 변 공유" 확률을 복원하고, 약분된 형태로 정리합니다.

검토

합리성 확인: 답 $\tfrac{5}{7} \approx 0.71$ 은 "꽤 큰 값" 으로 느껴져야 자연스럽습니다. 정팔각형 꼭짓점 셋을 무작위로 뽑을 때, 변을 단 하나도 공유하지 않으려면 세 꼭짓점이 모두 서로 떨어져 있어야 하므로 그 쪽이 오히려 까다롭습니다. 또 $\tfrac{5}{7} + \tfrac{2}{7} = 1$ 로, 유리한 경우와 여사건이 표본 공간을 정확히 둘로 나누고 겹침이 없습니다. 선택지 (D) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 직접 경우 나누기를 해도 됩니다. 경우 A — 변 $2$ 개를 공유하는 삼각형은 연속된 세 꼭짓점으로 만들어지므로 $8$ 개. 경우 B — 변 $1$ 개만 공유하는 삼각형은 변 하나를 고르고($8$ 가지) 그 변의 두 끝점 어느 쪽과도 이웃하지 않은 세 번째 꼭짓점을 고르는($8 - 4 = 4$ 가지) 방식으로 $32$ 개. 합 $= 8 + 32 = 40$, 확률 $= 40/56 = 5/7$ 로 동일한 (D). 여사건으로 센 $16$ 개도 함께 검증됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 4.NF.A.1 분수의 동치 관계 설명하기 ($\tfrac{16}{56} = \tfrac{2}{7}$ 약분과 $1 - \tfrac{2}{7} = \tfrac{5}{7}$ 이 기약분수임을 확인하는 데 사용.)
  • 7.SP.C.7 확률 모델을 세워 사건의 확률 구하기 ($56$ 개의 삼각형을 동등 확률로 보고, 여사건 규칙 $P(A) = 1 - P(\text{not } A)$ 를 적용.)
  • 7.SP.C.8 표·목록·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (전체 $\binom{8}{3} = 56$ 개 삼각형과 이웃하지 않는 세 꼭짓점 묶음 $16$ 개를 빠짐없이 세는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 확률 모델 — "적어도 하나" 를 "하나도 없음" 으로 뒤집어서 세고 $1$ 에서 빼기 — 만 알면 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 확률 모델 — "적어도 하나" 를 "하나도 없음" 으로 뒤집어서 세고 $1$ 에서 빼기 — 만 알면 풀 수 있어요!

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