AMC 8 · 2018 · #24

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

pythagorean-theoremspatial-visualizationarea-trianglesformula-substitution identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremspatial-visualization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정육면체 $ABCDEFGH$ 에서 $C$ 와 $E$ 는 서로 마주 보는 꼭짓점이고, 점 $J$ 와 점 $I$ 는 각각 선분 $\overline{FB}$ 와 $\overline{HD}$ 의 중점입니다. 단면 $EJCI$ 의 넓이와 정육면체의 한 면의 넓이의 비를 $R$ 이라고 할 때, $R^2$ 의 값은 얼마입니까?

$\textbf{(A) } \frac{5}{4} \qquad \textbf{(B) } \frac{4}{3} \qquad \textbf{(C) } \frac{3}{2} \qquad \textbf{(D) } \frac{25}{16} \qquad \textbf{(E) } \frac{9}{4}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5}{4}$

(B)

$\frac{4}{3}$

(C)

$\frac{3}{2}$

(D)

$\frac{25}{16}$

(E)

$\frac{9}{4}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육면체 $ABCDEFGH$ 에서 $C$ 와 $E$ 는 서로 마주 보는 꼭짓점(공간대각선 양 끝)입니다. $J$ 는 모서리 $\overline{FB}$ 의 중점, $I$ 는 모서리 $\overline{HD}$ 의 중점이라 할 때, 네 점 $E, J, C, I$ 가 만드는 단면 $EJCI$ 의 넓이를 정육면체 한 면의 넓이로 나눈 비를 $R$ 이라 합니다. $R^2$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $ABCDEFGH$ 는 정육면체이고, $C$ 와 $E$ 는 서로 마주 보는 꼭짓점; $J$ 는 모서리 $\overline{FB}$ 의 중점; $I$ 는 모서리 $\overline{HD}$ 의 중점; $R = \dfrac{\text{단면 } EJCI \text{ 의 넓이}}{\text{정육면체 한 면의 넓이}}$; 선택지: (A) $\tfrac{5}{4}$, (B) $\tfrac{4}{3}$, (C) $\tfrac{3}{2}$, (D) $\tfrac{25}{16}$, (E) $\tfrac{9}{4}$

구하는 것: $R^2$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

도구 #10(직접 만져보기): 정육면체 단면 문제는 머릿속만으로 보기 어려우므로, 휴지갑 같은 직육면체를 손에 쥐고 $E \to J \to C \to I \to E$ 를 손가락으로 그어 보는 것이 먼저입니다. 그러면 계산 전에 두 가지가 보입니다 — (가) 네 변의 길이가 같아 보이므로 $EJCI$ 는 마름모일 것 같고, (나) 두 대각선은 공간대각선 $\overline{EC}$ 와 가운데를 가로지르는 $\overline{JI}$ 라는 점입니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 (1) $EJCI$ 가 마름모임을 확인, (2) 두 대각선 길이 구하기, (3) 마름모 넓이 공식 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2$ 에 대입해 한 면 넓이로 나누기 의 세 단계로 분해합니다. 도구 #17(공간 상상하기) 은 $J, I$ 가 서로 마주 보는 수직 모서리 위에 있다는 점에서 $\overline{JI}$ 가 밑면 대각선 $\overline{BD}$ 와 평행하고 길이도 같다는 사실을 잡아 줍니다.

실행 — 정답: C

#10 직접 만져보기 5.G.A.2 단계 1

계산하기 편하게 정육면체의 한 변 길이를 $s = 2$ 로 잡습니다(중점이 정수 좌표로 떨어집니다).
$C$ 를 원점에, 정육면체 모서리를 $x, y, z$ 축에 맞추면 마주 보는 꼭짓점 $E$ 는 $(2, 2, 2)$ 가 됩니다.
그러면 $B = (0, 2, 0)$, $D = (2, 0, 0)$, $F = (0, 2, 2)$, $H = (2, 0, 2)$ 이고, $J = \overline{FB} \text{ 의 중점} = (0, 2, 1)$, $I = \overline{HD} \text{ 의 중점} = (2, 0, 1)$ 입니다.

$$C=(0,0,0),\; E=(2,2,2),\; J=(0,2,1),\; I=(2,0,1)$$

💡 정육면체를 좌표축에 올리는 것은 5학년 "실세계 도형을 좌표 위에 점으로 나타내기" 그대로 — 공간 감각을 산수로 바꿉니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 2

3차원 거리 공식 $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$ 로 $EJCI$ 의 네 변 길이를 구합니다.
$EJ$ 는 $(2,2,2) \to (0,2,1)$, $JC$ 는 $(0,2,1) \to (0,0,0)$, $CI$ 는 $(0,0,0) \to (2,0,1)$, $IE$ 는 $(2,0,1) \to (2,2,2)$ 의 거리입니다.

$EJ = \sqrt{2^2+0^2+1^2} = \sqrt{5}$,$\;\;$ $JC = \sqrt{0^2+2^2+1^2} = \sqrt{5}$,$\;\;$ $CI = \sqrt{2^2+0^2+1^2} = \sqrt{5}$,$\;\;$ $IE = \sqrt{0^2+2^2+1^2} = \sqrt{5}$

💡 좌표상의 두 점 사이 거리는 8학년 피타고라스 정리를 각 축 차이의 제곱으로 확장한 것입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

네 변이 모두 $\sqrt{5}$ 로 같으므로 $EJCI$ 는 마름모입니다.
마름모의 넓이는 두 대각선 곱의 절반이라는 공식 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$ 를 씁니다.
두 대각선은 마주 보는 꼭짓점을 잇는 $\overline{EC}$ 와 두 중점을 잇는 $\overline{JI}$ 입니다.

$$\text{넓이}(EJCI) = \tfrac{1}{2} \cdot EC \cdot JI$$

💡 "마름모 넓이 = 두 대각선 곱의 절반" 은 6학년 "특수한 사각형 넓이 구하기" 표준 사실입니다.

#17 공간 상상하기 8.G.B.8 단계 4

공간대각선 $EC$ 는 $C=(0,0,0)$ 에서 $E=(2,2,2)$ 까지 거리, $JI$ 는 $J=(0,2,1)$ 에서 $I=(2,0,1)$ 까지 거리로 계산합니다.
($JI$ 양 끝의 $z$ 좌표가 같으므로 $\overline{JI}$ 는 수평면 안에 있고, 그 길이는 정육면체 한 면의 대각선과 같습니다 — 좋은 검산 포인트입니다.)

$$EC = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \;\; JI = \sqrt{2^2+(-2)^2+0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

💡 두 대각선 길이도 같은 3차원 거리 공식 한 번 더 — 좌표 위 피타고라스 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 5

구한 두 대각선을 마름모 넓이 공식에 넣고, 한 면 넓이 $s^2 = 2^2 = 4$ 로 나누어 $R$ 을 얻은 뒤 제곱합니다.

$\text{넓이}(EJCI) = \tfrac{1}{2}(2\sqrt{3})(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{6}$. $\;\; R = \dfrac{2\sqrt{6}}{4} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$. $\;\; R^2 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$

💡 $\tfrac{\sqrt{6}}{2}$ 을 제곱하면 $(\sqrt{6})^2 = 6$ 으로 근호가 사라지는 8학년 제곱근 계산입니다.

[1] #10 5.G.A.2 계산하기 편하게 정육면체의 한 변 길이를 $s = 2$ 로 잡습니다(중점이 정수 좌표로 떨어집니다). $C$ 를 원점에, 정육면체 모서리를 $x

[2] #7 8.G.B.8 3차원 거리 공식 $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$ 로 $EJCI$ 의 네 변

[3] #7 6.G.A.1 네 변이 모두 $\sqrt{5}$ 로 같으므로 $EJCI$ 는 마름모입니다. 마름모의 넓이는 두 대각선 곱의 절반이라는 공식 $\text{넓이}

[4] #17 8.G.B.8 공간대각선 $EC$ 는 $C=(0,0,0)$ 에서 $E=(2,2,2)$ 까지 거리, $JI$ 는 $J=(0,2,1)$ 에서 $I=(2,0,1)$

[5] #7 8.EE.A.2 구한 두 대각선을 마름모 넓이 공식에 넣고, 한 면 넓이 $s^2 = 2^2 = 4$ 로 나누어 $R$ 을 얻은 뒤 제곱합니다.

검토

합리성 확인: $R^2 = \tfrac{3}{2}$ 라는 결과는 단면의 넓이가 한 면의 약 $1.5$ 배, 즉 길이로는 $R = \sqrt{6}/2 \approx 1.225$ 배라는 뜻입니다. 단면이 $C$ 에서 $E$ 까지 공간대각선 방향으로 비스듬히 잘려 한 면보다 눈에 띄게 크되 지나치게 크진 않은 마름모이므로 타당합니다. 선택지 (E) $\tfrac{9}{4}$ 라면 단면이 한 면의 $2.25$ 배라는 뜻인데, 두 중점에 묶인 마름모치고 너무 큽니다. (A) $\tfrac{5}{4}$ 는 공간대각선 방향으로의 늘어남을 거의 반영하지 않아 너무 작습니다. $\tfrac{3}{2}$ 가 적절한 위치입니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 로 좌표 없이도 풀 수 있습니다. 정육면체 안의 직사각형 $\overline{FBDH}$ 를 보면 짧은 변 $\overline{FB}, \overline{HD}$ 의 길이는 $s$, 긴 변 $\overline{FH}, \overline{BD}$ 는 면대각선 $s\sqrt{2}$ 입니다. $J, I$ 가 짧은 두 변의 중점이므로 $\overline{JI}$ 는 $\overline{BD}$ 와 평행하고 길이도 $s\sqrt{2}$. 다른 대각선 $\overline{EC}$ 는 공간대각선 $s\sqrt{3}$. 마름모 넓이 $= \tfrac{1}{2}(s\sqrt{3})(s\sqrt{2}) = \tfrac{s^2\sqrt{6}}{2}$ 이므로 $R = \tfrac{\sqrt{6}}{2}$, $R^2 = \tfrac{3}{2}$ 로 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.2 실세계와 수학 문제를 좌표 위 점으로 표현하기 ($C$ 를 원점에, $E$ 를 $(2,2,2)$ 에 두는 식으로 정육면체를 3차원 좌표계에 올려 모든 꼭짓점과 중점에 정수 좌표를 부여하는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성·분할로 구하기 ($EJCI$ 가 마름모임을 확인한 뒤 마름모 넓이 공식 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$ 를 적용하는 데 사용.)
8.G.B.8 좌표계의 두 점 사이 거리에 피타고라스 정리 적용 ($EJCI$ 의 네 변 길이와 두 대각선 $EC, JI$ 의 길이를 3차원 거리 공식으로 계산하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 ($\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 같은 근호 정리와, $R = \tfrac{\sqrt{6}}{2}$ 을 제곱해 $R^2 = \tfrac{3}{2}$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "좌표 위 두 점 사이 거리 = $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$" 한 줄만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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