AMC 8 · 2018 · #8

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangegraph-readingfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

가르시아 선생님은 보건 수업을 듣는 학생들에게 지난주에 30분 이상 운동한 날이 며칠인지 물었습니다. 그 결과를 정리한 막대그래프가 아래에 있으며, 막대의 높이는 학생 수를 나타냅니다.

가르시아 선생님 반 학생들이 지난주에 운동한 날 수의 평균은 소수점 둘째 자리까지 반올림했을 때 얼마입니까?

$\textbf{(A) } 3.50 \qquad \textbf{(B) } 3.57 \qquad \textbf{(C) } 4.36 \qquad \textbf{(D) } 4.50 \qquad \textbf{(E) } 5.00$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3.50

(B)

3.57

(C)

4.36

(D)

4.50

(E)

5.00

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 가르시아 선생님의 보건 수업을 듣는 학생들이 지난주에 하루 $30$ 분 이상 운동한 날 수를 각자 보고했고, 그 결과가 막대그래프로 정리되어 있습니다. 막대 하나는 "그만큼의 날을 운동했다" 고 답한 학생 수를 나타냅니다. 학생 한 명당 평균 운동 일수를 구해 소수점 둘째 자리까지 반올림한 뒤, 다섯 개 선택지 중 맞는 것을 고르는 문제입니다.

주어진 것: 막대그래프에서 읽어낸 도수 분포 — $1$ 일: $1$ 명, $2$ 일: $3$ 명, $3$ 일: $2$ 명, $4$ 일: $6$ 명, $5$ 일: $8$ 명, $6$ 일: $3$ 명, $7$ 일: $2$ 명; 평균은 (전체 운동 일수의 합) $\div$ (전체 학생 수); 선택지: (A) $3.50$, (B) $3.57$, (C) $4.36$, (D) $4.50$, (E) $5.00$

구하는 것: 학생 한 명당 평균 운동 일수 (소수점 둘째 자리까지 반올림)

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

데이터가 "막대그래프" 라는 그림 안에 들어 있어서 그대로는 계산이 어렵습니다. 도구 #15(다르게 정리하기) 로 막대를 도수 분포표로 옮겨 적으면, 같은 정보가 계산하기 쉬운 형태로 바뀝니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 평균 구하기를 두 토막 — (a) 전체 학생 수 = 도수의 합, (b) 전체 운동 일수 = (날 수 $\times$ 학생 수) 의 가중합 — 으로 나누고, 둘을 나누면 평균이 나옵니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 검산용입니다 — $4$ 일과 $5$ 일에 학생이 몰려 있으니 평균은 반드시 $4$ 와 $5$ 사이에 떨어져야 하고, 이것만으로도 (A), (B), (D), (E) 가 모두 탈락하고 (C) 만 남습니다.

실행 — 정답: C

#15 다르게 정리하기 3.MD.B.3 단계 1

막대그래프를 도수 분포표로 옮겨 적습니다.
각 막대의 높이가 그 일수만큼 운동했다고 답한 학생 수입니다.
이렇게 정리해두면 다음 두 단계의 덧셈·곱셈이 기계적으로 풀립니다.

$$\begin{array}{c|c} \text{운동 일수} & \text{학생 수} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 4 & 6 \\ 5 & 8 \\ 6 & 3 \\ 7 & 2 \end{array}$$

💡 눈금이 있는 막대그래프에서 각 항목의 수를 읽어 옮겨 적는 것은 3학년 "눈금 막대그래프" 표준 그 자체입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 2

첫 번째 소문제 — 전체 학생 수.
도수 열을 모두 더합니다.

$$1 + 3 + 2 + 6 + 8 + 3 + 2 = 25 \text{ 명}$$

💡 작은 자연수 일곱 개를 한 번에 더하는 것은 3학년 다단계 문장제 수준의 셈입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

두 번째 소문제 — 학급 전체의 운동 일수 총합.
각 줄에서 (운동 일수) $\times$ (학생 수) 를 계산해 그 줄이 총합에 기여하는 운동 일수를 구하고, 일곱 줄을 모두 더합니다.
예를 들어 $5$ 일 운동한 학생이 $8$ 명이면 그 줄은 $5 \times 8 = 40$ 일을 보태는 식의 "가중합" 입니다.

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 8 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 2 = 1 + 6 + 6 + 24 + 40 + 18 + 14 = 109 \text{ 일}$$

💡 곱셈과 덧셈을 섞은 자연수 다단계 문장제는 4학년 "사칙연산" 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 4

전체 운동 일수를 전체 학생 수로 나누면 평균입니다.
$\tfrac{109}{25}$ 를 긴 나눗셈 없이 소수로 바꾸려면 분자·분모에 $4$ 를 곱해 분모를 $100$ 으로 만들면 됩니다 — 그러면 소수점 둘째 자리까지 그대로 읽힙니다.

$$\text{평균} = \dfrac{109}{25} = \dfrac{109 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{436}{100} = 4.36$$

💡 수치 자료의 평균을 (값의 합) $\div$ (값의 개수) 로 정의해 계산하는 것은 6학년 "자료 요약" 표준입니다 — 결과를 소수로 표현하는 부분은 5학년 소수 셈에 살짝 기댑니다.

#3 가능성 지우기 6.SP.A.3 단계 5

$4.36$ 을 선택지와 맞춰 봅니다.
(C) 만 정확히 일치합니다.
도구 #3(가능성 지우기) 로 검산하면, 자료가 $4$ 일과 $5$ 일에 몰려 있으므로 평균은 반드시 $4$ 와 $5$ 사이여야 합니다 — 따라서 (A), (B), (D), (E) 는 한눈에 탈락합니다.

$$4.36 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 평균이 자료 전체를 하나의 수로 요약한다는 6학년 "중심 경향성" 개념과 우리가 구한 위치가 정확히 맞아떨어집니다.

[1] #15 3.MD.B.3 막대그래프를 도수 분포표로 옮겨 적습니다. 각 막대의 높이가 그 일수만큼 운동했다고 답한 학생 수입니다. 이렇게 정리해두면 다음 두 단계의 덧셈

[2] #7 3.OA.D.8 첫 번째 소문제 — 전체 학생 수. 도수 열을 모두 더합니다.

[3] #7 4.OA.A.3 두 번째 소문제 — 학급 전체의 운동 일수 총합. 각 줄에서 (운동 일수) $\times$ (학생 수) 를 계산해 그 줄이 총합에 기여하는 운동

[4] #7 6.SP.B.5 전체 운동 일수를 전체 학생 수로 나누면 평균입니다. $\tfrac{109}{25}$ 를 긴 나눗셈 없이 소수로 바꾸려면 분자·분모에 $4$ 를

[5] #3 6.SP.A.3 $4.36$ 을 선택지와 맞춰 봅니다. (C) 만 정확히 일치합니다. 도구 #3(가능성 지우기) 로 검산하면, 자료가 $4$ 일과 $5$ 일에

검토

합리성 확인: $25$ 명 중 $14$ 명이 $4$ 일 또는 $5$ 일을 답했으므로 평균은 그 중간값 $4.5$ 근처여야 자연스럽습니다. $1$, $2$, $3$ 일을 답한 학생이 몇 명 섞이면서 평균을 $4.5$ 보다 살짝 아래로 끌어내려 $4.36$ 이 나온 것이고, 실제 계산 결과와 정확히 맞습니다. 평균은 최솟값 $1$ 과 최댓값 $7$ 사이에도 잘 들어 있어 어떤 의미에서도 "말이 되는" 답입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 만으로도 정답이 거의 보입니다 — (A) $3.50$ 과 (B) $3.57$ 은 절반 이상의 학생이 $4$ 일 이상을 답했으니 너무 낮고, (D) $4.50$ 과 (E) $5.00$ 은 $1$, $2$ 일을 답한 학생이 셋 있으니 너무 높습니다. 막대그래프에서 무게중심이 살짝 왼쪽으로 치우친 위치와 어울리는 값은 (C) $4.36$ 뿐이라, 시간이 부족한 학생도 $109 \div 25$ 를 직접 계산하지 않고 (C) 를 고를 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.B.3 눈금이 있는 그림 그래프·막대그래프 그리기와 해석 (막대그래프의 각 막대 높이를 읽어 (운동 일수, 학생 수) 도수 분포표로 옮기는 데 사용.)
3.OA.D.8 100 이내 사칙연산을 활용한 두 단계 문장제 해결 (도수 일곱 개 $1+3+2+6+8+3+2 = 25$ 를 더해 전체 학생 수를 구하는 데 사용.)
4.OA.A.3 자연수의 사칙연산을 활용한 다단계 문장제 해결 ($1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + \dots + 7 \cdot 2 = 109$ 의 가중합으로 전체 운동 일수를 계산하는 데 사용.)
6.SP.B.5 관측값의 개수와 중심 경향성 등으로 수치 자료 요약 (평균 $= $ (값의 합) $\div$ (값의 개수) $= 109 \div 25 = 4.36$ 을 계산하는 데 사용.)
6.SP.A.3 중심 경향성이 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해 ($4.36$ 을 학급 전체 운동 일수 분포를 요약하는 하나의 수로 해석하고 (C) 와 짝지어 답을 확정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "평균 = 전체 합 $\div$ 개수" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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